Какова длина сторон прямоугольника с площадью 144 см^2, у которого периметр наименьший?

Чтобы найти стороны прямоугольника с наименьшим периметром, нам нужно использовать формулу для периметра прямоугольника и площади. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, а площадь равна произведению длин двух его сторон. Поэтому исходя из задачи, мы можем записать два уравнения:

\[
2a + 2b = P
\]

\[
ab = S
\]

где a и b - длины сторон прямоугольника, P - периметр, S - площадь.

Мы знаем, что площадь прямоугольника равна 144 см². Подставим это значение во второе уравнение:

\[
ab = 144
\]

Теперь найдем выражение для периметра. По условию, мы хотим найти прямоугольник с наименьшим периметром. Заметим, что сумма длин сторон прямоугольника больше или равна удвоенной квадратного корня из площади:

\[
2a + 2b \geq 2\sqrt{ab}
\]

Сокращаем на 2:

\[
a + b \geq \sqrt{ab}
\]

Теперь мы можем установить связь между периметром и площадью:

\[
2a + 2b = P \geq 2\sqrt{ab}
\]

Для прямоугольника с наименьшим периметром неравенство должно быть равенством. Значит, у нас получается:

\[
2a + 2b = 2\sqrt{ab}
\]

Делим на 2:

\[
a + b = \sqrt{ab}
\]

Теперь мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\[
(a + b)^2 = ( \sqrt{ab})^2
\]

\[
a^2 + 2ab + b^2 = ab
\]

Сокращаем на ab:

\[
a^2 - ab + b^2 = 0
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем его решить, используя дискриминант. Дискриминант D для данного уравнения равен:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

В нашем случае a = 1, b = -1, c = 1, поэтому:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет реальных корней. Тем не менее, мы все равно можем найти комплексные корни этого уравнения:

\[
a = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

\[
a = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{-3}}}{{2 \cdot 1}}
\]

\[
a = \frac{{1 \pm i\sqrt{3}}}{{2}}
\]

Таким образом, у нас два комплексных решения. Однако, комплексные значения не имеют физического смысла в данной задаче, поэтому мы оставим только реальные решения.

Окончательный ответ: так как у нас нет реальных корней, значит нет прямоугольника с наименьшим периметром, удовлетворяющего условиям задачи.