Какова длина самого длинного отрезка, который параллелен оси ординат и полностью находится внутри области, ограниченной

Для решения этой задачи мы должны найти точки пересечения парабол \(y_1 = x^2 - 3x - 18\) и \(y_2 = 3 - x^2\).

Начнем с нахождения точек пересечения парабол, приравняв \(y_1\) и \(y_2\):

\[x^2 - 3x - 18 = 3 - x^2.\]

Собирая все члены уравнения в одну сторону, получим:

\[2x^2 - 3x - 21 = 0.\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 2\), \(b = -3\) и \(c = -21\).

Вычисляя значения \(x\), мы получим две точки пересечения парабол:

\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21)}}{2 \cdot 2} \approx -1.5,\]
\[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21)}}{2 \cdot 2} \approx 4.\]

Теперь, чтобы найти длину самого длинного отрезка, параллельного оси ординат и полностью находящегося внутри области между параболами, мы должны найти разность значений \(y\) на этих точках.

Подставляя \(x_1\) и \(x_2\) в исходные параболы, мы получаем:

\[y_1(x_1) = (-1.5)^2 - 3(-1.5) - 18 \approx -23.25,\]
\[y_2(x_1) = 3 - (-1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75,\]
\[y_1(x_2) = 4^2 - 3 \cdot 4 - 18 = -14,\]
\[y_2(x_2) = 3 - 4^2 = -13.\]

Самый длинный отрезок, параллельный оси ординат и полностью находящийся внутри области между параболами, будет иметь длину равную разности значений \(y\) на этих точках.

Таким образом, длина самого длинного отрезка равна:

\[\text{Длина} = |y_1(x_1) - y_2(x_1)| = |-23.25 - 0.75| = |-24| = 24.\]

Длина самого длинного отрезка равна 24.