Какова длина ребра куба, если он плавает в широком сосуде с водой (плотность равна 1 г/см³), нижняя грань куба

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем массу всего куба.
Мы знаем, что плотность равна массе деленной на объем: \(\rho = \frac{m}{V}\), где \(\rho\) - плотность, \(m\) - масса, \(V\) - объем.

Также, средняя плотность куба равна 0.6 г/см³, а плотность воды равна 1 г/см³. Значит, куб должен содержать объем воды меньше 0.6 г/см³.

Шаг 2: Найдем плотность самого куба.
Пусть \(m_1\) - масса воды в кубе, а \(m_2\) - масса самого куба. Объем воды в кубе будет равен его объему, так как вода полностью заполняет его. Значит, плотность куба можно найти как \(\frac{m_2}{V}\).

Так как средняя плотность куба равна 0.6 г/см³, и объем воды в кубе меньше 0.6 г/см³, то плотность самого куба должна быть больше 0.6 г/см³.

Шаг 3: Найдем отношение плотности воды к плотности куба.
У нас есть два уравнения для отношения плотности:
\(\rho = \frac{m}{V}\) и \(\rho_2 = \frac{m_2}{V}\), где \(\rho_2\) - плотность куба.
Из условия задачи, мы знаем, что \(\rho = 1\) г/см³, а \(\rho_2 > 0.6\) г/см³.
Таким образом, \(\frac{\rho}{\rho_2} = \frac{1}{0.6}\).

Шаг 4: Найдем отношение объема куба, погруженного в воду, к объему всего куба.
Объем всего куба равен \(V_{total} = a^3\), где \(a\) - длина ребра куба.
Объем воды в кубе равен \(V_1 = V_{total} - a^3\), так как вода заполняет только часть объема куба.

Шаг 5: Запишем уравнение для отношения объема воды к объему куба.
Используем уравнение \(\frac{V_1}{V_{total}} = \frac{m_1}{m}\), где \(m_1\) - масса воды в кубе, \(m\) - масса всего куба.
Так как плотность воды равна 1 г/см³, то массу воды можно найти как \(m_1 = \rho_1 \cdot V_1\), где \(\rho_1 = 1\) г/см³.
Подставим это в уравнение: \(\frac{V_1}{V_{total}} = \frac{\rho_1 \cdot V_1}{m}\), и упростим его: \(\frac{V_1}{V_{total}} = \frac{V_1}{m}\).

Шаг 6: Найдем отношение массы куба ко всему его объему.
Мы знаем, что плотность куба равна \(\rho_2\), а масса куба равна \(m_2 = \rho_2 \cdot V_{total}\).
Таким образом, отношение массы куба ко всему его объему равно \(\frac{m_2}{V_{total}} = \frac{\rho_2 \cdot V_{total}}{V_{total}} = \rho_2\).

Шаг 7: Найдем зависимость длины ребра куба от плотности.
Используя уравнение из шага 4, запишем его в виде \(V_1 = V_{total} - a^3\).
Подставим выражение для объема куба в уравнение из шага 5: \(\frac{V_{total} - a^3}{V_{total}} = \frac{\rho_1 \cdot (V_{total} - a^3)}{m}\).
Упростим: \(V_{total} - a^3 = \frac{\rho_1 \cdot (V_{total} - a^3)}{m} \cdot V_{total}\).
Раскроем скобки: \(V_{total} - a^3 = \frac{\rho_1 \cdot V_{total} - \rho_1 \cdot a^3}{m} \cdot V_{total}\).
Сократим на \(V_{total}\): \(1 - \frac{a^3}{V_{total}} = \frac{\rho_1 \cdot V_{total} - \rho_1 \cdot a^3}{m}\).

Шаг 8: Выразим длину ребра куба \(a\).
\(1 - \frac{a^3}{V_{total}} = \frac{\rho_1 \cdot V_{total} - \rho_1 \cdot a^3}{m}\).
Перенесем все члены, содержащие \(a\) в левую часть: \(1 - \frac{\rho_1 \cdot V_{total}}{m} = \frac{\rho_1 \cdot a^3}{m} - \frac{a^3}{V_{total}}\).
Объединим члены с \(a\) в одну дробь: \(1 - \frac{\rho_1 \cdot V_{total}}{m} = \frac{\rho_1 \cdot a^3 - a^3}{m}\).
Упростим: \(1 - \frac{\rho_1 \cdot V_{total}}{m} = \frac{(\rho_1 - 1) \cdot a^3}{m}\).
Выразим \(a\): \(a^3 = \frac{m}{(\rho_1 - 1)} \cdot (1 - \frac{\rho_1 \cdot V_{total}}{m})\).
И, наконец, найдем длину ребра куба \(a\): \(a = \sqrt[3]{\frac{m}{(\rho_1 - 1)} \cdot (1 - \frac{\rho_1 \cdot V_{total}}{m})}\).

Таким образом, длина ребра куба равна \(\sqrt[3]{\frac{m}{(\rho_1 - 1)} \cdot (1 - \frac{\rho_1 \cdot V_{total}}{m})}\), где \(m\) - масса всего куба, \(\rho_1\) - плотность воды, \(V_{total}\) - объем всего куба.