Какова длина радиуса описанной окружности в треугольнике АВС, где АВ равно 2√3 и угол АСВ равен 60°?

Чтобы найти длину радиуса описанной окружности в треугольнике АВС, мы можем использовать теорему синусов.

Теорема синусов утверждает, что в треугольнике со сторонами a, b и c, где противолежащие углы обозначены как A, B и C соответственно, справедливо следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

По заданию мы знаем длину стороны AB и величину угла ASB. Давайте приступим к решению задачи.

1. Рассмотрим треугольник АСВ. Угол АСВ равен 60°.

2. Для решения задачи нам нужно найти длину стороны AS и длину стороны BS.

3. Поскольку у нас есть угол АСВ и длина стороны AB, мы можем использовать географический смысл синуса угла в треугольнике, чтобы найти длину стороны AS.

\[AS = AB \cdot \sin \angle ASB\]

Подставим известные значения:

\[AS = 2\sqrt{3} \cdot \sin 60°\]

4. Для вычисления синуса 60° мы можем использовать известное значение, что \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[AS = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[AS = 3\]

Таким образом, длина стороны AS равна 3.

5. Чтобы найти длину стороны BS, мы можем использовать то же самое соотношение:

\[BS = AB \cdot \sin \angle BSA\]

Однако, угол BSA является дополнительным углом к углу ASB (угол ASB + угол BSA = 180°), поэтому угол BSA равен 120°.

\[BS = 2\sqrt{3} \cdot \sin 120°\]

6. Снова используя известное значение синуса угла 120° (\(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)), получим:

\[BS = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[BS = 3\]

Значит, длина стороны BS также равна 3.

7. Мы знаем, что радиус описанной окружности в треугольнике АВС равен половине произведения длин сторон треугольника, деленного на площадь треугольника. То есть:

\[r = \frac{AB \cdot AS \cdot BS}{2 \cdot S_{\triangle ABC}}\]

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника, зная длины двух сторон треугольника и величину между ними угла:

\[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AS \cdot \sin \angle ASB\]

Подставим известные значения:

\[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin 60°\]

\[S_{\triangle ABC} = 3\sqrt{3}\]

Теперь мы можем подставить значения длин сторон и площади в формулу для радиуса:

\[r = \frac{2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3\sqrt{3}}\]

\[r = 3\]

Полученный результат означает, что радиус описанной окружности треугольника АВС равен 3.