Какова длина проволоки, используемой для изготовления кипятильника, если его КПД составляет 80% и он изготовлен

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу для электрической мощности:

\[P = \frac{U^2}{R}\],

где \(P\) - мощность, \(U\) - напряжение и \(R\) - сопротивление.

Для начала, нам нужно найти мощность кипятильника. Из условия задачи мы знаем, что эффективность (КПД) кипятильника составляет 80%. Это означает, что 80% от подаваемой на кипятильник электрической энергии превращается в тепловую энергию для нагрева воды. Следовательно, мощность кипятильника будет равна 80% от полной мощности.

Мы также знаем, что напряжение сети составляет 220 В. Подставим эти значения в формулу:

\[\text{{Мощность}} = 0,8 \times \left(\frac{{220^2}}{{R}}\right)\].

Теперь, нам нужно найти сопротивление проволоки, чтобы выразить мощность через него. Для этого, использовать формулу:

\[R = \frac{{\rho \times L}}{{A}}\],

где \(R\) - сопротивление, \(\rho\) - удельное сопротивление, \(L\) - длина проволоки и \(A\) - площадь сечения проволоки.

Мы знаем, что проволока изготовлена из нихрома, у которого удельное сопротивление составляет около \(1,1 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{м}\).

Теперь, подставим известные значения в формулу:

\(R = \frac{{1,1 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{м} \times L}}{{0,84 \times 10^{-6} \, \text{м}^2}}\).

Обратите внимание, что я привел площадь сечения проволоки к квадратным метрам.

Теперь, мы можем заменить \(R\) в первоначальной формуле и найти мощность кипятильника в терминах его длины:

\[\text{{Мощность}} = 0,8 \times \left(\frac{{220^2 \times 0,84 \times 10^{-6} \, \text{м}^2}}{{1,1 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{м} \times L}}\right)\].

Когда мы имеем мощность кипятильника и его КПД, можно рассчитать количество теплоты, которое он передает воде за период времени в секундах:

\[\text{{Теплота}} = \text{{Мощность}} \times \text{{Время}}\].

Мы знаем, что кипятильник нагревает \(4\) литра воды с \(10^\circ C\) до \(90^\circ C\) в течение \(20\) минут. Давайте выразим это в секундах и подставим известные значения в формулу:

\[\text{{Теплота}} = \text{{Мощность}} \times 20 \times 60\].

Теперь, мы можем приравнять передаваемую теплоту к изменении теплоты воды:

\[\text{{Теплота}} = m \times c \times \Delta T\],

где \(m\) - масса воды, \(c\) - удельная теплоемкость воды и \(\Delta T\) - изменение температуры.

Мы знаем, что масса воды составляет \(4\) кг (поскольку \(1\) литр воды имеет массу \(1\) кг\)), удельная теплоемкость воды составляет \(4,186\) Дж/(град \cdot \text{С}), а изменение температуры составляет \(90^\circ C - 10^\circ C = 80^\circ C\). Подставим эти значения:

\[\text{{Теплота}} = 4 \times 4,186 \times 80\].

Теперь, мы можем приравнять два значения теплоты и решить уравнение относительно длины проволоки \(L\):

\[4 \times 4,186 \times 80 = 0,8 \times \left(\frac{{220^2 \times 0,84 \times 10^{-6} \, \text{м}^2}}{{1,1 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{м} \times L}}\right) \times 20 \times 60\].

Решив это уравнение, найдем требуемую длину проволоки \(L\) в метрах.