Какова длина отрезка СД в случае, когда точки С и Д лежат на сфере с центром О и диаметром 8 см, а треугольник

Чтобы найти длину отрезка CD, сначала рассмотрим свойства прямоугольного треугольника СОД и используем их для нахождения этой длины.

1. Заметим, что точка О является центром сферы и, следовательно, расстояние от точки О до любой точки на сфере (в том числе точек С и Д) равно радиусу сферы. В данном случае радиус равен половине диаметра, то есть 4 см.

2. Поскольку треугольник СОД является прямоугольным, то применим свойства прямоугольных треугольников. В частности, применим теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

3. Обозначим длину отрезка CD через x. Тогда длина отрезка СО будет равна \(4 - x\) (так как радиус сферы равен 4 см, а точка С находится на сфере).

4. Применим теорему Пифагора к треугольнику СОД:

\[(4 - x)^2 + x^2 = 8^2\]

Раскроем скобки:

\[16 - 8x + x^2 + x^2 = 64\]

Сгруппируем слагаемые:

\[2x^2 - 8x + 16 = 64\]

Перенесем все слагаемые влево:

\[2x^2 - 8x - 48 = 0\]

5. Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где a = 2, b = -8 и c = -48.

6. Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-48)}}{2 \cdot 2}\]

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 384}}{4}\]

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{448}}{4}\]

\[x = \frac{8 \pm 4\sqrt{7}}{4}\]

\[x = 2 \pm \sqrt{7}\]

7. Ответ: Если С и Д лежат на сфере с центром О и диаметром 8 см, а треугольник СОД является прямоугольным, то длина отрезка CD равна \(2 \pm \sqrt{7}\) см (так как x = 2 \pm \sqrt{7}).