Какова длина отрезка HM на рисунке справа с изображением прямоугольной трапеции ABCD, если известно, что BM = 7.5

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала, давайте обозначим некоторые важные точки на рисунке. Пусть точка H - это точка пересечения отрезков AD и BM, а точка N - это точка пересечения отрезков AD и MC.

Теперь, чтобы найти длину отрезка HM, нам нужно сначала найти длину отрезка HN, а затем отнять от неё длину отрезка MN.

Шаг 1: Найдем длину отрезка HN.
Из трапеции ABCD мы знаем, что BC || AD (вершины B и C являются точками пересечения продолжений сторон AB и DC соответственно). Таким образом, треугольники BHM и DMA подобны.

Поэтому мы можем применить свойство пропорциональности сторон подобных треугольников:
\[\frac{{BH}}{{DM}} = \frac{{BM}}{{AM}}\]

Мы знаем, что BM = 7.5, поэтому нам остается найти длину отрезка AM.

Шаг 2: Найдем длину отрезка AM.
Мы можем использовать два треугольника в трапеции ABCD, чтобы найти длину отрезка AM.

Заметим, что треугольники ABM и DCM также подобны, так как у них две соответственные стороны пропорциональны.

Теперь мы можем использовать свойство пропорциональности сторон, чтобы записать:
\[\frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{BM}}{{CM}}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{{AM}}{{12.5}} = \frac{{7.5}}{{CM}}\]

Мы уже знаем, что BM = 7.5 и CM = 12.5, так что мы можем продолжить вычисления:
\[\frac{{AM}}{{12.5}} = \frac{{7.5}}{{12.5}}\]

Решив это уравнение относительно AM, получаем:
\[AM = \frac{{7.5 \times 12.5}}{{12.5}} = 7.5\]

Теперь у нас есть значение длины отрезка AM - 7.5.

Шаг 3: Найдем длину отрезка HN.
Мы знаем, что BM = 7.5 и DM = 12.5.
Используя найденное значение AM = 7.5, мы можем записать:
\[\frac{{BH}}{{12.5}} = \frac{{7.5}}{{7.5}}\]

Продолжим вычисления:
\[\frac{{BH}}{{12.5}} = 1\]

Из этого уравнения получаем:
\[BH = 12.5\]

Теперь у нас есть значение длины отрезка HN - 12.5.

Шаг 4: Найдем длину отрезка HM.
Теперь, имея значения длин отрезков HN и MN, мы можем вычислить длину отрезка HM, просто отняв MN от HN:
\[HM = HN - MN = 12.5 - 2.5 = 10\]

Таким образом, длина отрезка HM равна 10.

Итак, ответ на задачу: длина отрезка HM равна 10.