Каков периметр равнобедренной трапеции, у которой диагонали пересекаются в отношении 2: 5 и меньшее основание равно

Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции, нам нужно знать длины всех её сторон. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть длина меньшего основания трапеции равна \(a\) см, а диагонали пересекаются в точке \(O\) и делят другую сторону на две равные части длинами \(2x\) и \(5x\). Здесь \(x\) - расстояние от точки \(O\) до середины меньшего основания.

Первым шагом найдем все неизвестные стороны трапеции. Для этого построим прямоугольный треугольник \(OAB\) (где \(AB\) - меньшее основание трапеции, \(OA = 2x\) и \(OB = 5x\)).

Мы знаем, что меньшее основание равно высоте, поэтому сторона треугольника \(AB = 8,8\) см.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику \(OAB\):

\[OA^2 = OB^2 + AB^2\]
\[2x^2 = 5x^2 + 8,8^2\]
\[2x^2 - 5x^2 = 8,8^2\]
\[-3x^2 = 8,8^2\]
\[x^2 = \frac{{8,8^2}}{{3}}\]
\[x = \sqrt{\frac{{8,8^2}}{{3}}}\]

Когда мы найдем значение \(x\), сможем найти длины сторон трапеции:

\[OA = 2x = 2 \cdot \sqrt{\frac{{8,8^2}}{{3}}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{{4 \cdot 20^2}}{{3}}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{{4 \cdot 400}}{{3}}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{{1600}}{{3}}} = 2 \cdot \frac{{40}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{80}}{{\sqrt{3}}}\]

\[OB = 5x = 5 \cdot \sqrt{\frac{{8,8^2}}{{3}}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{{4 \cdot 20^2}}{{3}}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{{4 \cdot 400}}{{3}}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{{1600}}{{3}}} = 5 \cdot \frac{{40}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{200}}{{\sqrt{3}}}\]

\[AB = 8,8\]

Теперь найдем периметр трапеции, сложив все ее стороны:

\[P = OA + OB + AB + AB = \frac{{80}}{{\sqrt{3}}} + \frac{{200}}{{\sqrt{3}}} + 8,8 + 8,8\]

Для удобства округлим ответ до десятых:

\[P \approx 43,3 + 108,2 + 8,8 + 8,8 \approx 169,1\]

Итак, периметр равнобедренной трапеции составляет около 169,1 см.