Какова длина отрезка DP в прямоугольнике ABCD, где окружность, проходящая через точки A и D, касается прямой

DP? Давайте решим эту задачу по шагам.

1. Для начала, давайте нарисуем прямоугольник ABCD с точками A, B, C и D, а также нарисуем отрезок AC и диагональ BD. Также, отметим точку P на диагонали AC и точку E на стороне AD, в которой окружность касается прямой CD.

2. Окружность, проходящая через точки A и D, касается прямой CD, поэтому отрезок DE является радиусом этой окружности. Также, отрезок AP является радиусом окружности, касательной к отрезку CD в точке E.

3. Из условия задачи дано, что AP = √7 и AB = 14√2.

4. Заметим, что треугольники ABD и DCE подобны друг другу, так как они имеют одинаковые углы.

5. Используя подобие треугольников, получим следующее:

\(\frac{AP}{AB} = \frac{DE}{DC}\)

Подставляя известные значения, получим:

\(\frac{\sqrt{7}}{14\sqrt{2}} = \frac{DE}{DC}\)

6. Дальше, упрощаем эту дробь:

\(\frac{\sqrt{7}}{14\sqrt{2}} = \frac{DE}{DC}\)

\(\frac{1}{14\sqrt{2}} = \frac{DE}{DC}\)

7. Чтобы найти отношение DE к DC, нам нужно найти значение DC, что можно сделать, используя теорему Пифагора в треугольнике ABC.

Так как BC является стороной прямоугольника, а прямоугольник - это прямоугольный треугольник со сторонами BC и CD, с помощью теоремы Пифагора можно получить следующее уравнение:

\(BC^2 + CD^2 = BD^2\)

8. Зная, что AB = BC = 14√2, можем заменить значения:

\((14\sqrt{2})^2 + CD^2 = BD^2\)

\(392 + CD^2 = BD^2\)

9. Теперь мы должны найти значение BD. Поскольку AD является диагональю прямоугольника, мы знаем, что AD = BD.

10. Подставляем в предыдущее уравнение:

\(392 + CD^2 = AD^2\)

11. Заметим, что треугольники ADE и APB также подобны друг другу, так как у них одинаковые углы. Используя подобие, получаем:

\(\frac{DE}{AP} = \frac{BD}{AB}\)

12. Подставляем известные значения:

\(\frac{DE}{\sqrt{7}} = \frac{AD}{14\sqrt{2}}\)

\(DE = \frac{AD}{14\sqrt{2}} \cdot \sqrt{7}\)

13. Мы уже знаем, что AD = BD, поэтому подставляем:

\(DE = \frac{BD}{14\sqrt{2}} \cdot \sqrt{7}\)

14. Возвращаемся к уравнению из пункта 10:

\(392 + CD^2 = AD^2\)

Подставляем AD = BD:

\(392 + CD^2 = BD^2\)

15. Заменяем BD в уравнении 14:

\(392 + CD^2 = (14\sqrt{2})^2 + (DE)^2\)

16. Подставляем выражение для DE, полученное в пункте 13:

\(392 + CD^2 = (14\sqrt{2})^2 + \left(\frac{BD}{14\sqrt{2}} \cdot \sqrt{7}\right)^2\)

17. Упрощаем выражение:

\(392 + CD^2 = 392 + \frac{BD^2}{2} \cdot 7\)

18. Как мы заметили в предыдущих пунктах, BD = AD, поэтому заменяем:

\(392 + CD^2 = 392 + \frac{AD^2}{2} \cdot 7\)

19. Теперь мы получили уравнение, в котором есть только одна неизвестная - CD. Решаем его:

\(CD^2 = \frac{AD^2}{2} \cdot 7\)

\(CD^2 = \frac{(14\sqrt{2})^2}{2} \cdot 7\)

\(CD^2 = 196 \cdot 7\)

\(CD^2 = 1372\)

20. Наконец, находим значение CD:

\(CD = \sqrt{1372} = 2\sqrt{343} = 2 \cdot 7 = 14\)

21. Длина отрезка DP равна половине длины отрезка CD, поэтому:

\(DP = \frac{CD}{2} = \frac{14}{2} = 7\)

Таким образом, длина отрезка DP в прямоугольнике ABCD равна 7.