Какова длина отрезка АН в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, если АС = 8 и угол АВС = 30°?

Чтобы определить длину отрезка АН в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом в С, мы можем использовать тригонометрию. Давайте пошагово решим эту задачу.

1. В данной задаче нам даны две известные длины: АС = 8 и угол АВС = 30°. Наши цели - найти длину отрезка АН.

2. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения отрезка АН.

3. Из треугольника АВС мы видим, что у нас есть противоположная сторона (противолежащая углу АВС) и прилежащая сторона (прилегающая к углу АВС).

4. Для нахождения отрезка АН мы будем использовать тангенс угла АВС. Формула для тангенса выглядит следующим образом:

\[ \tan(\angle АВС) = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}} \]

Или в нашем случае:

\[ \tan(30°) = \frac{АН}{8} \]

5. Теперь возьмем тангенс 30°, который равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), и подставим его в формулу:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{АН}{8} \]

6. Чтобы найти АН, умножим обе стороны уравнения на 8:

\[ АН = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Используя свойства корней, мы можем упростить это выражение:

\[ АН = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, длина отрезка АН в прямоугольном треугольнике АВС равна \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\).