Какова длина отрезка AB в треугольнике ABC, если угол C равен 90 градусов, высота равна 180 и sin a равно 1/6?

Чтобы найти длину отрезка AB в треугольнике ABC, необходимо использовать теорему Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник с углом C равным 90 градусов.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (сторона, противолежащая прямому углу) равен сумме квадратов катетов (других двух сторон треугольника).

В нашем случае, длина высоты, проведенной к стороне AB, является одним из катетов нашего треугольника.

Пусть длина отрезка AB равна х. Тогда, длина высоты проведенной к стороне AB равна \(h = AB\).

У нас также есть информация о значении синуса угла a. Мы знаем, что \(\sin a = \frac{{противолежащая}}{{гипотенуза}}\). В нашем случае синус угла a равен \(\frac{1}{6}\). Так как катет и гипотенуза лежат на одной стороне треугольника, мы можем записать \(\sin a = \frac{{h}}{{AB}}\).

Подставим известные значения в уравнение:
\(\frac{1}{6} = \frac{{h}}{{AB}}\)

Умножим обе части уравнения на AB:
\(AB \cdot \frac{1}{6} = h\)

Хотим найти длину отрезка AB, поэтому перенесем обратно и получим:
\(AB = 6h\)

Теперь нам нужно выразить длину высоты в терминах известных величин. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин его сторон, выполненное к высоте. В нашем случае, площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\). Из условия задачи известна также площадь треугольника, которая равна 180.

Подставим известные значения в уравнение:
\(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = 180\)

Домножим обе стороны уравнения на 2:
\(AB \cdot h = 360\)

Заметим, что \(AB \cdot h\) равно 6h, так как мы получили это в предыдущем уравнении:
\(6h = 360\)

Теперь разрешаем это уравнение относительно h:
\(h = \frac{360}{6} = 60\)

Подставим значение h в уравнение для длины отрезка AB:
\(AB = 6h = 6 \cdot 60 = 360\)

Таким образом, длина отрезка AB в треугольнике ABC равна 360.