Какова длина основания АС равнобедренного треугольника ABC, если боковая сторона равна 10, а точка D на луче АС такова

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Построение

Построим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Также обозначим точку D на луче AC и точку E на отрезке AB, такую что DE \(\perp\) AB.

Шаг 2: Длина боковой стороны

У нас уже дано, что боковая сторона треугольника, которая является отрезком BC, равна 10.

Шаг 3: Нахождение длины отрезка DE

Нам также дано, что AD = 20 и DE \(\perp\) AB. Мы можем заметить, что треугольники ADE и ABC подобны, так как у них одинаковые углы при A. Используя подобность треугольников, мы можем записать отношение длин соответствующих сторон:

\(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}\)

Подставим известные значения:

\(\dfrac{DE}{10} = \dfrac{20}{AB}\)

Теперь найдем DE, переставив уравнение и решив его относительно DE:

\(DE = \dfrac{20}{AB} \times 10\)

\(DE = \dfrac{200}{AB}\)

Шаг 4: Нахождение длины основания

Мы знаем, что DE = BE. Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, то AB = AC. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(AB = AC = DE + BE\)

Подставим известные значения:

\(AB = AC = \dfrac{200}{AB} + 10\)

Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину основания AB.

Умножим обе части уравнения на AB:

\(AB^2 = 200 + 10 \times AB\)

Это квадратное уравнение. Перенесем все члены на одну сторону:

\(AB^2 - 10 \times AB - 200 = 0\)

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) для нахождения корней:

\(AB = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В нашем случае a = 1, b = -10 и c = -200. Подставим эти значения:

\(AB = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 1 \times -200}}{2 \times 1}\)

Упростим:

\(AB = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2}\)

\(AB = \dfrac{10 \pm \sqrt{900}}{2}\)

\(AB = \dfrac{10 \pm 30}{2}\)

Теперь найдем два возможных значения для AB:

\(AB_1 = \dfrac{10 + 30}{2} = 20\)

\(AB_2 = \dfrac{10 - 30}{2} = -10\)

Поскольку длина не может быть отрицательной, то ответом будет AB = 20.

Таким образом, длина основания АС равнобедренного треугольника ABC равна 20.