Что означает запись первых трех членов степенного ряда, используя заданный общий член in(x)? Как найти интервал

Описание первых трех членов степенного ряда:
Для данного степенного ряда с общим членом \(in(x)\), запись первых трех членов будет иметь следующий вид:
\[in(x) + in(x)^2 + in(x)^3\]

Обоснование ответа:
Общий член степенного ряда \(in(x)\) представляет собой функцию, зависящую от переменной \(x\) и степени \(n\). В записи первых трех членов ряда мы используем этот общий член при разных степенях: \(in(x), in(x)^2\) и \(in(x)^3\).

По шагам:
1. В начале, мы записываем первый член ряда, который равен \(in(x)\).
2. Затем, чтобы записать второй член ряда, мы возведем \(in(x)\) в квадрат и получим \(in(x)^2\).
3. Наконец, для третьего члена ряда мы возведем \(in(x)\) в куб и получим \(in(x)^3\).

Нахождение интервала сходимости и анализ сходимости ряда на его концах:
Интервал сходимости определяет значения переменной \(x\), для которых степенной ряд сходится. Чтобы найти интервал сходимости, мы можем использовать тест сравнения или радикальный тест.

Тест сравнения: Для данного степенного ряда с общим членом \(in(x)\), можно сравнить его с уже известным рядом, который сходится или расходится для определенных значений \(x\). Это поможет определить интервал сходимости.

Радикальный тест: Для данного степенного ряда с общим членом \(in(x)\), мы можем использовать радикальный тест, который основан на формуле \(L = \lim_{{n \to \infty}} \sqrt[n]{|in(x)|}\). Если \(L < 1\), то ряд сходится в интервале \((-R,R)\), где \(R\) - радиус сходимости.

Чтобы проанализировать сходимость ряда на его концах, мы можем проверить значение \(x\), равное радиусу сходимости. Если ряд сходится при \(x = R\), то он сходится на своей правой границе (то есть при \(x = R\)). Если ряд сходится при \(x = -R\), то он сходится на своей левой границе (то есть при \(x = -R\)).

Изменение заданного общего члена ряда \(nx^n/(n+1)*2^n\) для записи первых трех членов:
Чтобы записать первые три члена ряда, мы заменим переменную \(n\) значением 1, 2 и 3, соответственно. Таким образом, измененный общий член ряда будет выглядеть следующим образом:
\[\frac{x}{2}, \frac{2x^2}{4}, \frac{3x^3}{8}\]