Что означает запись первых трех членов степенного ряда, используя заданный общий член in(x)? Как найти интервал

Описание первых трех членов степенного ряда:
Для данного степенного ряда с общим членом $in(x)$, запись первых трех членов будет иметь следующий вид:
$$in(x)+in(x{)}^2+in(x{)}^3$$

Обоснование ответа:
Общий член степенного ряда $in(x)$ представляет собой функцию, зависящую от переменной $x$ и степени $n$. В записи первых трех членов ряда мы используем этот общий член при разных степенях: $in(x),in(x{)}^2$ и $in(x{)}^3$.

По шагам:
1. В начале, мы записываем первый член ряда, который равен $in(x)$.
2. Затем, чтобы записать второй член ряда, мы возведем $in(x)$ в квадрат и получим $in(x{)}^2$.
3. Наконец, для третьего члена ряда мы возведем $in(x)$ в куб и получим $in(x{)}^3$.

Нахождение интервала сходимости и анализ сходимости ряда на его концах:
Интервал сходимости определяет значения переменной $x$, для которых степенной ряд сходится. Чтобы найти интервал сходимости, мы можем использовать тест сравнения или радикальный тест.

Тест сравнения: Для данного степенного ряда с общим членом $in(x)$, можно сравнить его с уже известным рядом, который сходится или расходится для определенных значений $x$. Это поможет определить интервал сходимости.

Радикальный тест: Для данного степенного ряда с общим членом $in(x)$, мы можем использовать радикальный тест, который основан на формуле $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|in(x)|}$. Если $L<1$, то ряд сходится в интервале $(-R,R)$, где $R$ - радиус сходимости.

Чтобы проанализировать сходимость ряда на его концах, мы можем проверить значение $x$, равное радиусу сходимости. Если ряд сходится при $x=R$, то он сходится на своей правой границе (то есть при $x=R$). Если ряд сходится при $x=-R$, то он сходится на своей левой границе (то есть при $x=-R$).

Изменение заданного общего члена ряда $n{x}^n/(n+1)\ast 2^n$ для записи первых трех членов:
Чтобы записать первые три члена ряда, мы заменим переменную $n$ значением 1, 2 и 3, соответственно. Таким образом, измененный общий член ряда будет выглядеть следующим образом:
$$\frac{x}{2},\frac{2x^2}{4},\frac{3x^3}{8}$$