Какова длина одной из частей окружности, образованной вершинами вписанного правильного треугольника, если ее длина

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание о свойствах вписанных треугольников и окружностей.

Давайте начнем с рассмотрения длины одной из частей окружности, образованной вершинами вписанного правильного треугольника.

Известно, что вписанный треугольник является правильным, то есть все его стороны и углы равны. Также известно, что центр окружности, описанной вокруг треугольника, совпадает с центром треугольника.

Представим, что длина стороны треугольника равна \( a \). Так как треугольник правильный, то радиус окружности, описанной вокруг него, равен половине длины стороны, то есть \( \frac{a}{2} \). Что же касается длины одной из частей окружности, образованной вершинами треугольника, то она составляет треть от длины всей окружности.

Дано, что длина одной из частей окружности равна 4π см. Тогда можно составить уравнение:

\(\frac{{2\pi \cdot \frac{a}{3}}}{2\pi} = 4\pi\)

В данном уравнении мы делим длину одной из частей окружности (\(2\pi \cdot \frac{a}{3}\)) на длину всей окружности (\(2\pi\)) и приравниваем это значение к 4π см. Далее решим уравнение:

\(\frac{2 \cdot a}{3} = 4\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{2}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(a = \frac{12}{2}\)

\(a = 6\)

Таким образом, длина одной из частей окружности, образованной вершинами вписанного правильного треугольника, составляет 6 см.

Теперь перейдем к вычислению площади круга, описанного вокруг этого треугольника.

Известно, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен половине длины стороны, то есть \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

Площадь круга можно вычислить по формуле \( S = \pi \cdot R^2 \), где \( R \) - радиус окружности.

Подставим известные значения и рассчитаем площадь:

\( S = \pi \cdot 3^2 \)

\( S = 9\pi \) (см²)

Таким образом, площадь круга, описанного вокруг вписанного треугольника, составляет 9π (см²).