Какова длина нити (в сантиметрах), на которой повешен небольшой грузик массой 20 грамм, и который совершает

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для периода колебаний математического маятника. Пусть \(T\) обозначает период колебаний, \(L\) - длину нити, \(m\) - массу грузика и \(g\) - ускорение свободного падения.

Формула для периода колебаний математического маятника имеет вид:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

Для первой части задачи, где необходимо найти длину нити, мы можем использовать данную формулу и значения массы грузика, количества колебаний и времени:

\[T = \frac{t}{N} = \frac{100}{50} = 2 \text{ c}\]

Подставляем полученное значение периода \(T\), массы грузика \(m\) и ускорения свободного падения \(g = 9.8\, \text{м/c}^2\) в формулу для периода и находим длину нити \(L\):

\[2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9.8}}\]

Делим обе части уравнения на \(2\pi\) и возводим в квадрат:

\[1 = \frac{L}{9.8}\]

Умножаем обе части уравнения на 9.8 и находим значение длины нити \(L\):

\[L = 9.8\, \text{см}\]

Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи, где надо определить изменение периода колебаний при увеличении длины нити в 2,5 раза и при увеличении массы грузика в 2,5 раза.

1. При увеличении длины нити в 2,5 раза:

Для этого случая у нас есть исходное значение периода \(T\), исходная длина нити \(L\) и новое значение длины нити, которое составляет 2,5 раза больше \(L\). Обозначим новое значение длины нити как \(L"\).

Формула для периода колебаний остается без изменений:

\[T" = 2\pi\sqrt{\frac{L"}{g}}\]

Подставляем новое значение длины нити \(L"\) и значение ускорения свободного падения \(g\) в формулу и находим новый период колебаний \(T"\):

\[T" = 2\pi\sqrt{\frac{2.5L}{g}}\]

Упрощаем выражение:

\[T" = 2.5\left(2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\right)\]

Мы знаем, что исходный период колебаний равен 2 с, поэтому подставляем это значение и находим новый период колебаний \(T"\):

\[T" = 2.5(2) = 5 \text{ c}\]

Таким образом, период колебаний увеличится в 2,5 раза при увеличении длины нити в 2,5 раза.

2. При увеличении массы грузика в 2,5 раза:

Для этого случая у нас также есть исходное значение периода \(T\), исходная масса грузика \(m\) и новое значение массы, которое составляет 2,5 раза больше \(m\). Обозначим новое значение массы грузика как \(m"\).

Так как формула для периода колебаний не содержит массу грузика \(m\), изменение массы не повлияет на период колебаний. Поэтому период колебаний останется неизменным, равным 2 с.

Таким образом, период колебаний не изменится при увеличении массы грузика в 2,5 раза.

В итоге, ответ на задачу будет следующим:

1. Длина нити, на которой повешен грузик, равна 9,8 см.
2. При увеличении длины нити в 2,5 раза, период колебаний увеличится в 2,5 раза и станет равным 5 с.
3. При увеличении массы грузика в 2,5 раза, период колебаний останется неизменным и будет равен 2 с.