Какова длина нити маятника, чтобы период его колебаний был равен периоду колебаний тела, подвешенного на пружине

Для решения данной задачи, нам понадобятся законы колебаний. Период колебаний для маятника определяется следующей формулой:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
где:
\( T \) - период колебаний,
\( L \) - длина нити маятника,
\( g \) - ускорение свободного падения.

Аналогично, период колебаний для тела, подвешенного на пружине, определяется формулой:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
где:
\( m \) - масса тела,
\( k \) - жесткость пружины.

Нам известны следующие данные:
\( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)
\( k = 50 \, \text{Н/м} \)
\( F = 25 \, \text{Н} \)

Сначала найдем массу тела, подвешенного на пружине:
Масса связана с силой тяжести следующим соотношением:
\[ F = m \cdot g \]
\[ m = \frac{F}{g} = \frac{25}{10} = 2.5 \, \text{кг} \]

Далее, подставим значения в формулу для периода колебаний на пружине:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{2.5}{50}} \]
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{20}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{4 \cdot 5}} \]
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{4}}\cdot\sqrt{\frac{1}{5}} = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{5}} \]
\[ T = \pi\sqrt{\frac{1}{5}} \]

Мы хотим, чтобы период колебаний маятника также был равен \( T = \pi\sqrt{\frac{1}{5}} \).
Теперь, приравняем формулы для периодов колебаний маятника и тела на пружине:
\[ \pi\sqrt{\frac{L}{g}} = \pi\sqrt{\frac{1}{5}} \]
Для сокращения формулы, возвестим обе части уравнения в квадрат:
\[ \left(\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\right)^2 = \left(\pi\sqrt{\frac{1}{5}}\right)^2 \]
\[ \pi^2 \cdot \frac{L}{g} = \pi^2 \cdot \frac{1}{5} \]

Упростим уравнение, сокращая обе стороны на \(\pi^2\):
\[ \frac{L}{g} = \frac{1}{5} \]
\[ L = g \cdot \frac{1}{5} \]

Подставим значение для ускорения свободного падении \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \):
\[ L = 10 \cdot \frac{1}{5} \]
\[ L = 2 \, \text{м} \]

Таким образом, длина нити маятника должна быть \( 2 \, \text{м} \), чтобы период его колебаний был равен периоду колебаний тела на пружине.