Какова длина наибольшей стороны прямоугольника, если известно, что периметр равен 28 см, а площадь - 24 см2?

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся известными формулами для периметра и площади прямоугольника. Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон, а площадь равна произведению длин его сторон.

Пусть длина прямоугольника будет представлена через переменную \(a\), а ширина через переменную \(b\). Отсюда следует, что:

Периметр: \(2a + 2b = 28\) (формула для периметра прямоугольника)
Площадь: \(ab = 24\) (формула для площади прямоугольника)

Теперь нам нужно найти наибольшую сторону прямоугольника, которую представим через переменную \(c\). Мы знаем, что периметр равен сумме всех сторон, поэтому:

\(2a + 2b = c + a + b\)

Так как нам известны значения периметра и площади прямоугольника, мы можем составить систему уравнений и решить ее методом подстановок или приведения:

\[\begin{align*}
2a + 2b &= 28 \\
ab &= 24
\end{align*}\]

Мы можем решить первое уравнение относительно \(a\) или \(b\), выразив одну из переменных через другую. Например, выразим \(a\) через \(b\):

\(a = \frac{28 - 2b}{2} = 14 - b\)

Теперь подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\((14 - b)b = 24\)

Раскроем скобки:

\(14b - b^2 = 24\)

Упорядочим уравнение:

\(b^2 - 14b + 24 = 0\)

Это квадратное уравнение. Можно решить его с помощью факторизации или используя квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[b^2 - 14b + 24 = 0\]

Используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -14\) и \(c = 24\):

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\]

Дискриминант положительный, что означает, что у нас есть два действительных корня. Решим квадратное уравнение методом извлечения корня:

\[b = \frac{-(-14) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1}\]

Упростим это уравнение:

\[b = \frac{14 \pm 10}{2}\]

Теперь найдем два возможных значения для \(b\):

\[b_1 = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12\]
\[b_2 = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Теперь мы найдем соответствующие значения для \(a\) в каждом случае:

Для \(b = 12\):
\(a = 14 - b = 14 - 12 = 2\)

Для \(b = 2\):
\(a = 14 - b = 14 - 2 = 12\)

Таким образом, мы получили две пары значений: \(a = 2, b = 12\) и \(a = 12, b = 2\).

Длина наибольшей стороны прямоугольника будет наибольшим из значений \(a\) и \(b\). В данном случае, максимальная сторона равна 12 см. Обратите внимание, что длина и ширина прямоугольника могут быть разными, но максимальная сторона составляет 12 см.