Какова длина меньшей стороны и площадь прямоугольника, если длина большей стороны составляет 13,5 дм, диагональ равна

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины меньшей стороны прямоугольника, а затем использовать формулу для нахождения площади прямоугольника.

Как известно, теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее уравнение: \(c^2 = a^2 + b^2\).

В данной задаче, диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, меньшая сторона является катетом, а большая сторона является гипотенузой.

Дано:
Большая сторона (гипотенуза) = 13,5 дм
Диагональ (гипотенуза) = \(9\sqrt{3}\) дм
Угол между диагональю и меньшей стороной = 60 градусов

Первым шагом найдем длину меньшей стороны (катета).

Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{{\text{{минимальная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\).
Подставив известные значения, мы получим:
\(\cos(60^\circ) = \frac{{\text{{минимальная сторона}}}}{{13,5}}\).

Решим уравнение относительно минимальной стороны:
\(\text{{минимальная сторона}} = 13,5 \times \cos(60^\circ)\).

Теперь вычислим значение выражения:

\(\text{{минимальная сторона}} = 13,5 \times \frac{1}{2} = 6,75\) дм.

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна 6,75 дм.

Для нахождения площади прямоугольника, мы знаем, что площадь \(S\) прямоугольника можно найти по формуле \(S = \text{{длина}} \times \text{{ширина}}\).

Мы уже знаем длину (6,75 дм), но нам пока неизвестна ширина.

По определению прямоугольника, диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а ширина является другим катетом.

Применяя теорему Пифагора, мы можем выразить ширину:

\(9\sqrt{3} = \sqrt{{6,75^2 + \text{{ширина}}^2}}\).

Возводим это уравнение в квадрат:

\(81 \times 3 = 45,5625 + \text{{ширина}}^2\).

Вычитаем 45,5625 с обеих сторон:

\(81 \times 3 - 45,5625 = \text{{ширина}}^2\).

Вычисляем значение:

\(238,4375 = \text{{ширина}}^2\).

Извлекаем квадратный корень:

\(\text{{ширина}} = \sqrt{238,4375}\).

Расчитываем значение выражения:

\(\text{{ширина}} \approx 15,46\) дм.

Теперь, вычислим площадь прямоугольника:

\(S = \text{{длина}} \times \text{{ширина}} = 6,75 \times 15,46 \approx 104,11\) дм².

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника составляет 6,75 дм, а площадь прямоугольника составляет около 104,11 дм².