Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь составляет 450, а тангенс одного из углов

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу площади прямоугольного треугольника и формулу тангенса одного из его углов.

Для начала, давайте обозначим длины катетов треугольника. Пусть меньший катет имеет длину \(x\), а другой катет имеет длину \(y\). Также, пусть один из углов треугольника равен \(\alpha\).

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов:

\[Площадь = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\]

По условию задачи, площадь равна 450:

\[450 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\]

Также нам дано, что тангенс одного из углов треугольника равен 4:

\[\tan(\alpha) = 4\]

Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

\[\tan(\alpha) = \frac{x}{y}\]

Теперь, чтобы решить задачу, мы можем воспользоваться системой уравнений. Выразим переменную \(y\) из уравнения для площади прямоугольного треугольника:

\[y = \frac{2 \cdot 450}{x}\]

Подставим это значение \(y\) в уравнение для тангенса:

\[\tan(\alpha) = 4 = \frac{x}{\frac{2 \cdot 450}{x}}\]

Упростим выражение:

\[4 = \frac{x^2}{900}\]

Перемножим оба члена на 900:

\[3600 = x^2\]

Возьмем корень от обеих сторон:

\[x = \sqrt{3600}\]

Так как ищем длину меньшего катета, то нам подходит только положительное значение. Поэтому получаем:

\[x = 60\]

Таким образом, длина меньшего катета прямоугольного треугольника составляет 60 единиц.