Какова длина медианы треугольника АВС с координатами точек А (2; 6), В (–2; 4), С (–3

Хорошо, давайте решим данную задачу о длине медианы треугольника с помощью координат точек А, В и С.

Медиана треугольника - это линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Первым шагом нам нужно вычислить середину отрезка, соединяющего две точки треугольника.
Давайте вычислим середину отрезка AB с координатами (2; 6) и (-2; 4):

\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0 \]
\[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \]

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты (0; 5).

Далее, нам нужно вычислить середину отрезка BC с координатами (-2; 4) и (-3; 2):

\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{(-2) + (-3)}{2} = -\frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

Таким образом, середина отрезка BC имеет координаты \(\left(-\frac{5}{2}; 3\right)\).

Наконец, вычислим середину отрезка AC с координатами (2; 6) и (-3; 2):

\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-3)}{2} = -\frac{1}{2} \]
\[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \]

Таким образом, середина отрезка AC имеет координаты \(\left(-\frac{1}{2}; 4\right)\).

Теперь у нас есть три точки: середина отрезка AB (0; 5), середина отрезка BC \(\left(-\frac{5}{2}; 3\right)\) и середина отрезка AC \(\left(-\frac{1}{2}; 4\right)\). Для вычисления длины медианы, нам нужно вычислить дистанцию между вершиной треугольника и каждой из этих середин.

Давайте начнем с длины медианы, исходящей из вершины А (2; 6). Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками для вычисления длины отрезка между А и серединой отрезка BC \(\left(-\frac{5}{2}; 3\right)\).

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{2} - 2\right)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{2} + 4\right)^2 + (-3)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 9} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9} = \sqrt{\frac{9 + 36}{4}} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \]

Таким образом, длина медианы из вершины А равна \(\frac{3\sqrt{5}}{2}\).

Аналогично, мы можем вычислить длины медиан, исходящих из вершин B и C. Длина медианы, исходящей из вершины B (–2; 4), будет такой же, как длина медианы из вершины A, то есть \(\frac{3\sqrt{5}}{2}\).

Длина медианы, исходящей из вершины C (–3; 2), также будет равна \(\frac{3\sqrt{5}}{2}\).

Итак, длина всех трех медиан треугольника ABC, рассчитываемых через координаты его вершин, составляет \(\frac{3\sqrt{5}}{2}\) единиц длины.