Какова длина медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его острые углы равны

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников и медиан.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, разделяет её пополам и образует прямоугольный треугольник между медианой, гипотенузой и её половиной.

В данной задаче, известны два острых угла треугольника, которые равны 75° и 15°. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180°. Таким образом, третий угол треугольника равен \(180° - 75° - 15° = 90°\). Получается, что данный треугольник является прямоугольным.

Зная, что треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, которая связывает длины сторон прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\), выполняется соотношение:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В данной задаче, гипотенуза равна высоте, проведённой к гипотенузе, то есть \(c = h\), катеты же можно обозначить как \(a\) и \(b\).

Используя заданные в условии углы треугольника, можно определить соотношения между сторонами треугольника. Нам известно, что острым углом треугольника является угол 15°, поэтому наибольшая сторона треугольника будет противоположна этому углу. Следовательно, \(a\) будет наибольшим катетом, а \(b\) - меньшим.

Таким образом, мы имеем:

\(\sin 15° = \frac{b}{h} \Rightarrow b = h \cdot \sin 15°\)

\(\sin 75° = \frac{a}{h} \Rightarrow a = h \cdot \sin 75°\)

Подставим значения \(a\) и \(b\) в теорему Пифагора:

\[c^2 = (h \cdot \sin 75°)^2 + ( h \cdot \sin 15°)^2\]

Раскроем скобки:

\[c^2 = h^2 \cdot \sin^2 75° + h^2 \cdot \sin^2 15°\]

Объединим на одной стороне уравнения:

\[c^2 - h^2 \cdot \sin^2 75° - h^2 \cdot \sin^2 15° = 0\]

Получили квадратное уравнение относительно \(c\). Найдем его корни с помощью дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 1\), поэтому формула корней будет иметь вид:

\[c = \frac{-0 \pm \sqrt{0 - 4 \cdot 1 \cdot (0 - h^2 \cdot \sin^2 75° - h^2 \cdot \sin^2 15°)}}{2 \cdot 1}\]

\[c = \frac{\pm \sqrt{4h^2 \cdot \sin^2 75° + 4h^2 \cdot \sin^2 15°}}{2}\]

\[c = \frac{2h}{2} = h\]

Таким образом, длина медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна длине самой гипотенузы \(h\).