Какова длина медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его острые углы равны

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников и медиан.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, разделяет её пополам и образует прямоугольный треугольник между медианой, гипотенузой и её половиной.

В данной задаче, известны два острых угла треугольника, которые равны 75° и 15°. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180°. Таким образом, третий угол треугольника равен $180°-75°-15°=90°$. Получается, что данный треугольник является прямоугольным.

Зная, что треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, которая связывает длины сторон прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $c$ и катетами $a$ и $b$, выполняется соотношение:

$$c^2=a^2+b^2$$

В данной задаче, гипотенуза равна высоте, проведённой к гипотенузе, то есть $c=h$, катеты же можно обозначить как $a$ и $b$.

Используя заданные в условии углы треугольника, можно определить соотношения между сторонами треугольника. Нам известно, что острым углом треугольника является угол 15°, поэтому наибольшая сторона треугольника будет противоположна этому углу. Следовательно, $a$ будет наибольшим катетом, а $b$ - меньшим.

Таким образом, мы имеем:

$\sin 15°=\frac{b}{h}\Rightarrow b=h\cdot \sin 15°$

$\sin 75°=\frac{a}{h}\Rightarrow a=h\cdot \sin 75°$

Подставим значения $a$ и $b$ в теорему Пифагора:

$$c^2=(h\cdot \sin 75°{)}^2+(h\cdot \sin 15°{)}^2$$

Раскроем скобки:

$$c^2=h^2\cdot {\sin }^{2}75°+h^2\cdot {\sin }^{2}15°$$

Объединим на одной стороне уравнения:

$$c^2-h^2\cdot {\sin }^{2}75°-h^2\cdot {\sin }^{2}15°=0$$

Получили квадратное уравнение относительно $c$. Найдем его корни с помощью дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения:

$$D=b^2-4ac$$

$$c=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

В нашем случае, $a=1$, $b=0$, $c=1$, поэтому формула корней будет иметь вид:

$$c=\frac{-0\pm \sqrt{0-4\cdot 1\cdot (0-h^2\cdot {\sin }^{2}75°-h^2\cdot {\sin }^{2}15°)}}{2\cdot 1}$$

$$c=\frac{\pm \sqrt{4h^2\cdot {\sin }^{2}75°+4h^2\cdot {\sin }^{2}15°}}{2}$$

$$c=\frac{2h}{2}=h$$

Таким образом, длина медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна длине самой гипотенузы $h$.