Каков объем прямоугольной треугольной призмы, описанной вокруг цилиндра с радиусом основания 10 см, если диагональ

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать основные свойства прямоугольной треугольной призмы и цилиндра.

Давайте проведем некоторые обозначения:
- Пусть \(ABCD\) - основание треугольной призмы, где \(BC\) это основание.
- Пусть \(EFG\) - боковая грань с диагональю \(EF\), где \(EF\) - большая диагональ.
- Пусть \(DKH\) - цилиндр с радиусом основания \(DK\) равным 10 см, где \(K\) - центр основания.

Мы знаем, что треугольная призма описана вокруг цилиндра, поэтому диагональ боковой грани призмы равна диаметру основания цилиндра. Из этого следует, что \(EF\) равно двойному радиусу основания: \(EF = 2DK\).

Также мы знаем, что большая диагональ формирует угол 60° с плоскостью основания, а угол между основанием и острым углом треугольника равен 30°.

Теперь давайте решим задачу.

1. Шаг: Вычислим длину \(DK\).

Мы знаем, что \(DK\) равен радиусу основания цилиндра, который равен 10 см. Таким образом, \(DK = 10\) см.

2. Шаг: Вычислим \(EF\).

Так как \(EF = 2DK\), то \(EF = 2 \cdot 10 = 20\) см.

3. Шаг: Найдем длину отрезка \(FG\).

Чтобы найти длину отрезка \(FG\), воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике \(EFG\). Теорема косинусов гласит:

\[EF^2 = EG^2 + FG^2 - 2 \cdot EG \cdot FG \cdot \cos(\angle EFG)\]

Мы знаем, что \(EF = 20\) см и \(\angle EFG = 60^\circ\). Поскольку \(\angle EFG\) равен углу между плоскостью основания и большей диагональю, а мы знаем, что этот угол равен 60°.

Подставим известные значения:

\[20^2 = EG^2 + FG^2 - 2 \cdot EG \cdot FG \cdot \cos(60^\circ)\]

\[400 = EG^2 + FG^2 - EG \cdot FG\]

4. Шаг: Найдем длину отрезка \(EG\).

Чтобы найти длину отрезка \(EG\), мы можем использовать теорему синусов в треугольнике \(EFG\). Теорема синусов гласит:

\[\frac{EG}{\sin(\angle GEF)} = \frac{EF}{\sin(\angle EFG)}\]

Мы знаем, что \(\angle GEF = 90^\circ - \angle EFG = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\) и \(EF = 20\) см.

Подставим известные значения:

\[\frac{EG}{\sin(30^\circ)} = \frac{20}{\sin(60^\circ)}\]

\[\frac{EG}{\frac{1}{2}} = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[EG = \frac{20 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}}\]

5. Шаг: Найдем длину отрезка \(FG\).

Возвращаясь к уравнению из шага 3, подставим известные значения:

\[400 = \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 + FG^2 - \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot FG\]

Решим уравнение:

\[400 = \frac{400}{3} + FG^2 - \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot FG\]

\[\frac{800}{3} = FG^2 - \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot FG\]

\[\frac{800}{3} + \frac{400}{3} = FG^2 - \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot FG + \frac{400}{3}\]

\[FG^2 - \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot FG + \frac{800}{3} + \frac{400}{3} = 0\]

\[FG^2 - \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot FG + \frac{1200}{3} = 0\]

\[FG^2 - \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot FG + 400 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для упрощения вычислений домножим все члены на \(\sqrt{3}\):

\[\sqrt{3} \cdot FG^2 - 20 \cdot FG + 400\sqrt{3} = 0\]

\[3FG^2 - 20 \cdot FG + 400\sqrt{3} = 0\]

Решим это уравнение используя квадратное уравнение:

\[FG = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 400\sqrt{3}}}{2 \cdot 3}\]

\[FG = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4800\sqrt{3}}}{6}\]

\[FG = \frac{20 \pm \sqrt{400(1 + 12\sqrt{3})}}{6}\]

Таким образом, длина отрезка \(FG\) имеет два возможных значения.

Подведем итоги:

Объем прямоугольной треугольной призмы, описанной вокруг цилиндра с радиусом 10 см, зависит от длины отрезка \(FG\). Чтобы найти точное значение объема, необходимо вычислить значения \(FG\) и затем использовать формулу для объема прямоугольной треугольной призмы.