Какова длина линий пересечения плоскости, проходящей через конец диаметра шара под углом 60 градусов, с самой сферой?

Для того чтобы вычислить длину линий пересечения плоскости, проходящей под углом 60 градусов через конец диаметра шара с самой сферой, мы можем использовать геометрические свойства и теоремы.

Представим себе сферу радиусом \(r\) с центром в начале координат. Пусть плоскость проходит через конец диаметра шара под углом 60 градусов с положительным направлением оси \(x\).

Для начала, нам потребуется найти точку пересечения плоскости с сферой. Рассмотрим векторное уравнение плоскости \(P\) в пространстве:
\[P: \textbf{r} \cdot (1, \sqrt{3}, 0) = r^2\]
где \(\textbf{r}\) - радиус-вектор произвольной точки плоскости \(P\).

Также, у нас есть уравнение сферы \(S\) с радиусом \(r\) и центром в начале координат:
\[S: \textbf{r} \cdot \textbf{r} = r^2\]

Чтобы найти точку пересечения плоскости и сферы, мы можем решить это уравнение:
\[\textbf{r} \cdot (1, \sqrt{3}, 0) = \textbf{r} \cdot \textbf{r}\]

Положим \(\textbf{r} = (x, y, z)\). Подставив это в уравнение, получим:
\[x + \sqrt{3}y = x^2 + y^2 + z^2\]

Учитывая, что плоскость проходит через конец диаметра шара, где \(x = r\), получим:
\[r + \sqrt{3}y = r^2 + y^2 + z^2\]

Для нахождения точки пересечения, мы можем решить это уравнение вместе с уравнением сферы \(S\). Продолжите, пожалуйста, с решением этого уравнения, чтобы определить точку пересечения.