Какова длина линии пересечения сферы радиусом 15 см и плоскости, которая проходит на расстоянии 9 см от центра сферы?

Данная задача относится к геометрии и включает нахождение длины линии пересечения сферы и плоскости. Давайте разберем ее пошагово.

1. Вначале, давайте представим задачу графически. У нас есть сфера с центром O и радиусом \(r = 15\) см. Мы также имеем плоскость, которая находится на расстоянии 9 см от центра сферы. Давайте обозначим точку пересечения плоскости с сферой буквой A.

2. Нам известно, что плоскость пересекает сферу, поэтому линия пересечения будет касаться сферы в точке A. Это означает, что отрезок OA будет равен радиусу сферы.

3. Чтобы найти длину этой линии пересечения, мы должны вычислить длину отрезка OA.

4. Длина отрезка OA является гипотенузой прямоугольного треугольника OAC, где C - это точка на плоскости, ближайшая к центру сферы.

5. Мы знаем, что расстояние от плоскости до центра сферы равно 9 см, поэтому OC = 9 см.

6. Также известно, что радиус сферы OB равен 15 см.

7. Теперь, для вычисления длины отрезка OA, нам нужно найти длину отрезка AC.

8. Треугольник OAC - прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора для решения его. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы (OA) равен сумме квадратов катетов (OC и AC).

9. В нашем случае, длина гипотенузы (OA) - это длина отрезка, искомая в задаче.

10. Обозначим длину отрезка AC как x. Тогда по теореме Пифагора получаем \(OA^2 = OC^2 + AC^2\), что равно \((15)^2 = (9 + x)^2\).

11. Раскрываем скобки в полученном уравнении и решаем его.

\[
225 = 81 + 18x + x^2
\]

12. Упрощаем выражение:

\[
0 = x^2 + 18x - 144
\]

13. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или формулы квадратного корня. Выберем формулу квадратного корня:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

где a = 1, b = 18, c = -144.

14. Подставляем значения в формулу:

\[
x = \frac{{-18 \pm \sqrt{{18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144)}}}}{{2 \cdot 1}}
\]

\[
x = \frac{{-18 \pm \sqrt{{324 + 576}}}}{{2}}
\]

\[
x = \frac{{-18 \pm \sqrt{{900}}}}{{2}}
\]

\[
x = \frac{{-18 \pm 30}}{{2}}
\]

15. Теперь решим уравнение для каждого значения x:

Для x = \(\frac{{-18 + 30}}{2} = 6\) см.

16. Мы получили значение отрезка AC, то есть длину отрезка, который мы искали. Теперь, чтобы найти длину линии пересечения, мы должны удвоить эту длину:

\(2 \cdot AC = 2 \cdot 6 = 12\) см.

Таким образом, длина линии пересечения сферы радиусом 15 см и плоскости, проходящей на расстоянии 9 см от центра сферы, составляет 12 см.