1) Косинус одного острого угла прямоугольного треугольника равен синусу другого острого угла данного треугольника

Конечно, я могу помочь с этими задачами!

1) Для начала, давайте обозначим острые углы прямоугольного треугольника. Пусть один острый угол будет \(A\), а другой - \(B\). Также, давайте обозначим длины катетов треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\).

По определению косинуса и синуса, мы знаем, что косинус угла \(A\) равен отношению длины прилежащего катета \(b\) к гипотенузе \(c\), то есть:

\[ \cos(A) = \frac{b}{c} \]

Аналогично, синус угла \(B\) равен отношению длины противолежащего катета \(a\) к гипотенузе \(c\), то есть:

\[ \sin(B) = \frac{a}{c} \]

Нам дано, что косинус угла \(A\) равен синусу угла \(B\). Пусть это значение будет обозначено как \(k\):

\[ \cos(A) = k = \sin(B) \]

Теперь мы можем объединить эти уравнения:

\[ \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \]

Если мы умножим обе части на гипотенузу \(c\), то получим:

\[ b = a \]

Таким образом, мы установили, что длина прилежащего катета \(b\) равна длине противолежащего катета \(a\) для прямоугольного треугольника, у которого косинус одного острого угла равен синусу другого острого угла.

2) Мы знаем, что синус угла \(A\) равен 0,4. По определению синуса, синус угла равен отношению длины противолежащего катета к гипотенузе:

\[ \sin(A) = \frac{a}{c} = 0,4 \]

Теперь мы должны найти косинус угла \(A\). По определению косинуса, косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos(A) = \frac{b}{c} \]

Так как треугольник прямоугольный, мы можем использовать тождество Пифагора \(a^2 + b^2 = c^2\), чтобы найти значениe \(c\).

Заменив значения \(a\) и \(c\) в уравнении синуса, получим:

\[ \frac{0,4}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0,4 \]

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\[ a^2 + b^2 = 1 \]

Теперь нам нужно найти значение косинуса угла \(A\). Подставим это уравнение и значение синуса в определение косинуса:

\[ \cos(A) = \frac{b}{\sqrt{1 - b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 - b^2}} = \frac{b}{\sqrt{1-a^2}} \]

Таким образом, мы получили, что косинус угла \(A\) равен \(\frac{b}{\sqrt{1-a^2}}\).

3) Данное утверждение верно. Косинус острого угла находится в промежутке от 0 до 1. Мы можем это увидеть, рассматривая график функции косинуса. На протяжении всего периода функции косинуса, значения изменяются от -1 до 1, и при \(x = 0\) функция достигает своего максимального значения 1. Таким образом, значения косинуса острого угла всегда находятся в промежутке от 0 до 1.

4) Последнее утверждение верно. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника определяется как отношение длины противолежащего катета к прилежащему катету, то есть:

\[ \tan(A) = \frac{a}{b} \]

Это утверждение является следствием теоремы о тангенсе. Таким образом, мы можем утверждать, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему углу.