Какова длина катета АС прямоугольного треугольника АВС, если угол В равен 60 градусов, а длина гипотенузы ВС равна

Есть несколько способов найти длину катета АС в данной задаче. Мы воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

По условию задачи, угол В равен 60 градусов, а длина гипотенузы ВС равна 1.
Пусть длина катета АС равна х.

Применяя теорему Пифагора, получаем:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
1^2 = AC^2 + x^2
\]
\[
1 = AC^2 + x^2
\]

Поскольку у нас есть большее количество неизвестных, нам нужно найти еще одно уравнение для решения системы уравнений. В данном случае мы можем использовать факт, что угол В равен 60 градусов, что означает, что треугольник ВАС является равносторонним треугольником. В равностороннем треугольнике все стороны равны друг другу.

Таким образом, длина стороны ВС равна длине стороны ВА, которую мы обозначим как у.
Так как треугольник ВАС равносторонний, ВС = ВА, поэтому мы можем заменить ВС на у в уравнении:
\[
1 = AC^2 + x^2
\]
\[
1 = y^2 + x^2
\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[
1 = AC^2 + x^2
\]
\[
1 = y^2 + x^2
\]

Используя метод подстановки или метод исключения, мы можем решить эту систему уравнений.

*Метод подстановки*
Мы можем решить одно из уравнений относительно одной переменной и подставить его в другое уравнение. Давайте решим первое уравнение относительно x:
\[
AC^2 = 1 - x^2
\]
\[
AC = \sqrt{1 - x^2}
\]

Теперь, заменим AC во втором уравнении:
\[
1 = y^2 + x^2
\]
\[
1 = y^2 + (\sqrt{1 - x^2})^2
\]
\[
1 = y^2 + 1 - x^2
\]
\[
x^2 = y^2
\]
\[
x = y
\]

Поскольку треугольник АВС является прямоугольным треугольником, значениям длин сторон нельзя быть отрицательными. Таким образом, мы получаем x = y = AC.

Ответ: Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна длине гипотенузы ВС, которая равна 1.