Какова длина хорды, образовавшейся при пересечении прямой с внутренностью параболы y^2=-x в угле 135 градусов

Давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть парабола с уравнением \(y^2 = -x\). Чтобы найти длину хорды, возникшей при пересечении прямой с внутренностью параболы под углом 135 градусов, нам понадобится некоторый алгоритм.

Шаг 1: Рассмотрение уравнения параболы

Начнем с общего разбора уравнения параболы \(y^2 = -x\). Это типичная парабола, центр которой находится в начале координат \((0, 0)\). Ветви параболы направлены влево и вправо. Таким образом, ось параболы совпадает с осью ординат, а ось симметрии — с осью абсцисс. Обратите внимание, что этот вид параболы симметричен относительно оси ординат, поэтому при пересечении прямой с параболой будет образована хорда.

Шаг 2: Рассмотрение угла

Теперь давайте разберемся с углом 135 градусов. Угол измеряется против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. Поскольку угол 135 градусов лежит в третьем квадранте, мы можем найти точку пересечения прямой с параболой в этой области.

Шаг 3: Нахождение точки пересечения

Для определения точки пересечения мы можем воспользоваться системой уравнений. Уравнение параболы \(y^2 = -x\) можно переписать в виде \(y = \sqrt{-x}\). Пусть уравнение прямой имеет вид \(y = mx + c\), где \(m\) — угловой коэффициент прямой, а \(c\) — значение на оси ординат (y-пересечение).

Подставляя \(y = \sqrt{-x}\) в уравнение прямой, мы получим \(\sqrt{-x} = mx + c\). Возведем обе части уравнения в квадрат: \((-x) = (mx + c)^2\).

Учитывая, что угол 135 градусов находится в третьем квадранте, угловой коэффициент прямой можно определить как \(\tan(135^\circ) = -1\).

Теперь мы можем решить уравнение:

\((-x) = (mx + c)^2\)

\(-x = (-x + c)^2\)

\(-x = x^2 - 2xc + c^2\)

\(x^2 - 2xc + c^2 + x = 0\)

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь мы должны решить полученное квадратное уравнение \(x^2 - 2xc + c^2 + x = 0\). Здесь у нас есть несколько возможных вариантов решения: использовать формулу дискриминанта, завершить квадрат, применить рационализацию, но в данном случае, чтобы сделать расчеты более простыми для школьников, давайте воспользуемся методом подстановки.

Раскроем выражение \((x - c)^2\) при помощи формулы \(a^2 - 2ab + b^2\):

\(x^2 - 2xc + c^2 + x = (x - c)^2 + x\)

Теперь у нас есть:

\((x - c)^2 + x = 0\)

Можем подставить \(u = x - c\). Тогда:

\(u^2 + x = 0\)

\(u^2 = -x\)

Таким образом, получилось новое уравнение \(u^2 = -x\), которое соответствует уравнению параболы \(y^2 = -x\). Наша новая хорда — это зависимость между \(u\) и \(x\).

Шаг 5: Нахождение длины хорды

Теперь, чтобы найти длину хорды, нам понадобится знать координаты точек пересечения \(x\) и \(u\). Поскольку мы уже знаем, что уравнение параболы \(y^2 = -x\) и уравнение пересекающей прямой имеют вид \(u^2 = -x\), мы можем найти координаты точек пересечения, подставляя \(u\) или \(x\) в одно из уравнений.

Так как мы ищем точку пересечения в третьем квадранте и угол 135 градусов, мы можем выбрать отрицательные значения, то есть \(x < 0\). Подставим \(x\) в уравнение \(u^2 = -x\), и получим:

\(u^2 = -x\)

\(u^2 = -(-5)\)

\(u^2 = 5\)

Ответ: Мы получили, что \(u = \sqrt{5}\). Так как \(u = x - c\), то \(x = u + c\). Но мы также знаем, что уравнение прямой задано как \(y = mx + c\), поэтому \(c\) будет являться параметром отсечения, равным \(0\).

Теперь, имея \(x\), мы можем найти соответствующие значения \(y\). Подставим \(x = \sqrt{5}\) в уравнение параболы \(y^2 = -x\):

\(y^2 = -(\sqrt{5})\)

\(y^2 = -\sqrt{5}\)

Ответ: Мы получили две точки пересечения: \((\sqrt{5}, \sqrt{-\sqrt{5}})\) и \((\sqrt{5}, -\sqrt{-\sqrt{5}})\).

Мы теперь можем найти длину хорды \(AB\) с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[
AB = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{5})^2 + (\sqrt{-\sqrt{5}} - (-\sqrt{-\sqrt{5}}))^2}
\]

\[
AB = \sqrt{0 + 0} = 0
\]

Таким образом, длина хорды, образованной при пересечении прямой с внутренностью параболы под углом 135 градусов, равна 0.