Какова длина хорды АВ, образующей угол 30° с диаметром окружности АС, если известен радиус окружности?

Давайте решим эту задачу пошагово и обоснуем каждый шаг.

1. Пусть $OC$ - радиус окружности, а $OD$ - диаметр, проходящий через центр окружности.

(мы предполагаем, что $O$ - центр окружности).

2. Поскольку диаметр $OD$ - это прямая линия, то угол между диаметром и хордой $AB$ также будет 30°.

(дано: угол между хордой и диаметром равен 30°).

3. Поскольку угол между хордой $AB$ и диаметром $OD$ равен 30°, то угол между $OC$ и $AB$ также будет 30°.

(диаметр $OD$ является прямой линией, и углы, образованные хордой $AB$ и диаметром $OD$, равны).

4. Из геометрических свойств окружности известно, что угол, подстреливающий хорду, равен половине угла, стоящего на центральной окружности.

(геометрическое свойство окружности).

5. Таким образом, угол между $OC$ и $AB$ является половиной угла на центральной окружности.

(из свойства окружности, угол между хордой и радиусом равен половине угла, стоящего на центральной окружности).

6. Рассмотрим окружность с центром $O$ и углом ${30}^{\circ }$ на центральной окружности.

(мы рассматриваем окружность с центром $O$ и углом между радиусом и хордой, равным ${30}^{\circ }$).

7. Так как угол больше ${180}^{\circ }$ и меньше ${360}^{\circ }$, искомая хорда будет существовать внутри окружности.

(угол между хордой и диаметром - это внутренний угол окружности).

8. Давайте обозначим середину хорды $AB$ как точку $E$.

9. Из геометрических свойств окружности известно, что радиус $OC$ будет перпендикулярен хорде, проходящей через ее середину $E$.

(геометрическое свойство окружности: радиус, проведенный к середине хорды, будет перпендикулярен хорде).

10. Продлим радиус $OC$ до пересечения с хордой $AB$, образуя перпендикуляр $OF$ к хорде $AB$ в точке $F$.

(мы продлили радиус до пересечения с хордой, чтобы получить перпендикуляр).

11. Так как у нас есть прямоугольный треугольник $EOF$, мы можем использовать тригонометрию для нахождения значения хорды $AB$.

12. Рассмотрим прямоугольный треугольник $EOF$. Угол $\mathrm{\angle }EOF$ равен половине угла на центральной окружности $\mathrm{\angle }EOC$.

(в треугольнике $EOF$, угол $\mathrm{\angle }EOF$ равен половине угла на центральной окружности $\mathrm{\angle }EOC$).

13. Треугольник $EOF$ - прямоугольный треугольник, поскольку радиус $OF$ - это перпендикуляр к хорде $AB$.

(треугольник $EOF$ - прямоугольный треугольник, так как радиус $OF$ - это перпендикуляр к хорде $AB$).

14. Обозначим длину хорды $AB$ как $x$.

15. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник $EOF$ с гипотенузой $OC$ (радиус окружности) и углом $\mathrm{\angle }EOF$ (равным половине угла на центральной окружности), и мы ищем длину $EO$ (половину хорды $AB$) и $OF$.

16. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса:

$$\sin (\mathrm{\angle }EOF)=\frac{EO}{OC}$$

17. Заменим угол $\mathrm{\angle }EOF$ на половину угла на центральной окружности:

$$\sin \left(\frac{\mathrm{\angle }EOC}{2}\right)=\frac{EO}{OC}$$

18. Известно, что угол на центральной окружности ($\mathrm{\angle }EOC$) равен 60°, так как он составляет половину угла $AOB$ (угол между хордой и диаметром).

(данный угол можно легко вычислить, так как $AOB=2\times \mathrm{\angle }EOF=2\times 30°=60°$).

19. Подставим значение угла в уравнение:

$$\sin \left(\frac{{60}^{\circ }}{2}\right)=\frac{EO}{OC}$$

$$\sin ({30}^{\circ })=\frac{EO}{OC}$$

20. Значение синуса ${30}^{\circ }$ равно $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}=\frac{EO}{OC}$$

21. Теперь, зная, что длина хорды $AB$ равна двум длинам $EO$ и $OF$, можно написать:

$$AB=2\times EO$$

22. Подставим значение $EO$:

$$AB=2\times \frac{EO}{OC}$$

23. Заменим значение $\frac{EO}{OC}$ на $\frac{1}{2}$:

$$AB=2\times \frac{1}{2}$$

24. Распространяем:

$$AB=1$$

Ответ: Длина хорды $AB$, образующей угол 30° с диаметром окружности $AC$, равна 1.