Какова длина хорды АВ, образующей угол 30° с диаметром окружности АС, если известен радиус окружности?

Давайте решим эту задачу пошагово и обоснуем каждый шаг.

1. Пусть \(OC\) - радиус окружности, а \(OD\) - диаметр, проходящий через центр окружности.

(мы предполагаем, что \(O\) - центр окружности).

2. Поскольку диаметр \(OD\) - это прямая линия, то угол между диаметром и хордой \(AB\) также будет 30°.

(дано: угол между хордой и диаметром равен 30°).

3. Поскольку угол между хордой \(AB\) и диаметром \(OD\) равен 30°, то угол между \(OC\) и \(AB\) также будет 30°.

(диаметр \(OD\) является прямой линией, и углы, образованные хордой \(AB\) и диаметром \(OD\), равны).

4. Из геометрических свойств окружности известно, что угол, подстреливающий хорду, равен половине угла, стоящего на центральной окружности.

(геометрическое свойство окружности).

5. Таким образом, угол между \(OC\) и \(AB\) является половиной угла на центральной окружности.

(из свойства окружности, угол между хордой и радиусом равен половине угла, стоящего на центральной окружности).

6. Рассмотрим окружность с центром \(O\) и углом \(30^\circ\) на центральной окружности.

(мы рассматриваем окружность с центром \(O\) и углом между радиусом и хордой, равным \(30^\circ\)).

7. Так как угол больше \(180^\circ\) и меньше \(360^\circ\), искомая хорда будет существовать внутри окружности.

(угол между хордой и диаметром - это внутренний угол окружности).

8. Давайте обозначим середину хорды \(AB\) как точку \(E\).

9. Из геометрических свойств окружности известно, что радиус \(OC\) будет перпендикулярен хорде, проходящей через ее середину \(E\).

(геометрическое свойство окружности: радиус, проведенный к середине хорды, будет перпендикулярен хорде).

10. Продлим радиус \(OC\) до пересечения с хордой \(AB\), образуя перпендикуляр \(OF\) к хорде \(AB\) в точке \(F\).

(мы продлили радиус до пересечения с хордой, чтобы получить перпендикуляр).

11. Так как у нас есть прямоугольный треугольник \(EOF\), мы можем использовать тригонометрию для нахождения значения хорды \(AB\).

12. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(EOF\). Угол \(\angle EOF\) равен половине угла на центральной окружности \(\angle EOC\).

(в треугольнике \(EOF\), угол \(\angle EOF\) равен половине угла на центральной окружности \(\angle EOC\)).

13. Треугольник \(EOF\) - прямоугольный треугольник, поскольку радиус \(OF\) - это перпендикуляр к хорде \(AB\).

(треугольник \(EOF\) - прямоугольный треугольник, так как радиус \(OF\) - это перпендикуляр к хорде \(AB\)).

14. Обозначим длину хорды \(AB\) как \(x\).

15. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник \(EOF\) с гипотенузой \(OC\) (радиус окружности) и углом \(\angle EOF\) (равным половине угла на центральной окружности), и мы ищем длину \(EO\) (половину хорды \(AB\)) и \(OF\).

16. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса:

\[\sin(\angle EOF) = \frac{{EO}}{{OC}}\]

17. Заменим угол \(\angle EOF\) на половину угла на центральной окружности:

\[\sin\left(\frac{{\angle EOC}}{2}\right) = \frac{{EO}}{{OC}}\]

18. Известно, что угол на центральной окружности (\(\angle EOC\)) равен 60°, так как он составляет половину угла \(AOB\) (угол между хордой и диаметром).

(данный угол можно легко вычислить, так как \(AOB = 2 \times \angle EOF = 2 \times 30° = 60°\)).

19. Подставим значение угла в уравнение:

\[\sin\left(\frac{{60^\circ}}{2}\right) = \frac{{EO}}{{OC}}\]

\[\sin(30^\circ) = \frac{{EO}}{{OC}}\]

20. Значение синуса \(30^\circ\) равно \(\frac{1}{2}\):

\[\frac{1}{2} = \frac{{EO}}{{OC}}\]

21. Теперь, зная, что длина хорды \(AB\) равна двум длинам \(EO\) и \(OF\), можно написать:

\[AB = 2 \times EO\]

22. Подставим значение \(EO\):

\[AB = 2 \times \frac{{EO}}{{OC}}\]

23. Заменим значение \(\frac{{EO}}{{OC}}\) на \(\frac{1}{2}\):

\[AB = 2 \times \frac{1}{2}\]

24. Распространяем:

\[AB = 1\]

Ответ: Длина хорды \(AB\), образующей угол 30° с диаметром окружности \(AC\), равна 1.