Какова длина гипотенузы треугольника, если известно, что разница между гипотенузой и меньшим катетом равна 8 см и один

Дано: разница между гипотенузой и меньшим катетом равна 8 см и один из углов треугольника является прямым.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза -- это наибольшая сторона, а катеты -- это две меньшие стороны. Поэтому, если обозначить меньший катет через \(a\) и гипотенузу через \(c\), у нас есть следующее соотношение:

\[c - a = 8\]

Так как треугольник прямоугольный, мы можем использовать известное геометрическое соотношение между длиной гипотенузы и катетов, называемое теоремой Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Здесь \(c\) -- длина гипотенузы, \(a\) -- длина одного из катетов, а \(b\) -- длина другого катета. Так как у нас уже есть соотношение между \(c\) и \(a\) из первого уравнения, мы можем заменить \(c - a\) на 8 во втором уравнении:

\[(8 + a)^2 = a^2 + b^2\]

Раскрыв скобки и упростив уравнение, получаем:

\[64 + 16a + a^2 = a^2 + b^2\]

Поскольку одно из условий задачи говорит нам, что один из углов треугольника является прямым, мы знаем, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Поэтому мы можем записать:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Так как в нашем уравнении есть \(a\) и \(b\), а неизвестным является только \(c\), мы можем решить систему уравнений:

\[\begin{cases} 64 + 16a + a^2 = c^2 \\ a^2 + b^2 = c^2 \end{cases}\]

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений. Для этого мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

В первое уравнение подставим \(c^2\) из второго уравнения:

\[64 + 16a + a^2 = a^2 + (64 + 16a)\]

Уравнение упрощается до \(64 + 16a = 64 + 16a\)

Как видим, оба члена уравнения равны, что подтверждает правильность наших действий. Это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Так как нас интересует длина гипотенузы, мы можем выбрать любое значение для \(c\) и вычислить соответствующие значения для \(a\) и \(b\) с помощью теоремы Пифагора.

Таким образом, длина гипотенузы треугольника может быть любым положительным числом, а именно \(c > 0\).