Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты имеют отношение 8:6 и периметр треугольника равен

Для решения данной задачи, давайте сначала обратимся к свойствам прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике, гипотенуза является наибольшей стороной и она соответствует гипотенузе, которая является главной диагональю прямоугольника с катетами. При этом катеты являются его сторонами.

Дано, что отношение катетов составляет 8:6, что можно упростить, разделив оба числа на их наибольший общий делитель, равный 2. Таким образом, отношение катетов будет составлять 4:3.

Пусть длина первого катета равна 4x, где x - это множитель, а длина второго катета будет равна 3x.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[(4x)^2 + (3x)^2 = c^2\]

где c - длина гипотенузы.

Раскрывая скобки и сокращая подобные слагаемые, получаем:

\[16x^2 + 9x^2 = c^2\]

\[25x^2 = c^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[5x = c\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 5x.

Чтобы определить значение x, мы можем использовать информацию о периметре треугольника.

Периметр составляет сумму длин всех трех сторон. Так как два катета равны 4x и 3x, а гипотенуза равна 5x, мы можем записать уравнение:

\[4x + 3x + 5x = P\]

где P - периметр треугольника.

Сокращая подобные слагаемые, получаем:

\[12x = P\]

Теперь мы знаем, что периметр треугольника равен 12x.

Используя данную информацию о периметре, мы можем определить значение x и, соответственно, длину гипотенузы.

Поскольку периметр равен заданному значению, мы можем записать уравнение:

\[12x = заданное значение\]

Решив это уравнение относительно x, вы сможете определить значение x.

Зная значение x, вы можете легко вычислить длину гипотенузы, заменив x в уравнении \(5x = c\).

Таким образом, для полного понимания длины гипотенузы прямоугольного треугольника в данной задаче, мы использовали свойства прямоугольного треугольника, теорему Пифагора, отношение катетов и информацию о периметре треугольника. Мы также демонстрировали шаги решения и объяснили логику за каждым шагом для полного понимания школьника.