Какова длина дуги одной из окружностей, разделенной вершинами вписанного правильного четырехугольника, если площадь

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется вывести формулу для длины дуги окружности, а также найти радиус вписанного круга.

Длина дуги (L) одной из окружностей, разделенной вершинами вписанного правильного четырехугольника, может быть найдена с использованием следующей формулы:

\[L = \frac{{2 \pi r}}{{360^\circ}} \cdot \theta\]

где r - радиус окружности, а \(\theta\) - величина центрального угла.

Для нахождения радиуса вписанного круга, который обозначим как r, нам нужно знать площадь этого круга. Площадь круга можно выразить через радиус следующим образом:

\[S = \pi r^2\]

Теперь мы можем решить эту задачу.

Итак, дано, что площадь круга, вписанного в этот четырехугольник, составляет 16 квадратных сантиметров.

Подставим значение площади в формулу для площади круга:

\[16 = \pi r^2\]

Решим это уравнение относительно радиуса:

\[r^2 = \frac{{16}}{{\pi}}\]

\[r = \sqrt{\frac{{16}}{{\pi}}}\]

Таким образом, мы нашли радиус вписанного круга.

Теперь, чтобы найти длину дуги (L), нам нужно знать величину центрального угла. Правильный четырехугольник вписан в окружность, значит у него каждый угол равен 90°. Центральный угол, относящийся к одной из окружностей, будет в два раза больше, то есть 180°.

Теперь подставим все значения в формулу для длины дуги:

\[L = \frac{{2 \pi \sqrt{{\frac{{16}}{{\pi}}}}}}{{360^\circ}} \cdot 180^\circ\]

\[L = \frac{{2 \pi \sqrt{{16 \div \pi}}}}{{360}} \cdot 180\]

Раскроем скобки:

\[L = \frac{{2 \pi \sqrt{{16}}{{\sqrt{\pi}}}}}{{360}} \cdot 180\]

\(\sqrt{{16}} = 4\)

\[L = \frac{{8 \pi \sqrt{\pi}}}{{360}} \cdot 180\]

\[L = \frac{{8 \pi \sqrt{\pi}}}{{2}}\]

\[L = 4 \pi \sqrt{\pi}\]

Итак, длина дуги одной из окружностей, разделенной вершинами вписанного правильного четырехугольника, составляет \(4 \pi \sqrt{\pi}\) сантиметров.