Какова длина диаметра окружности, если длина хорды равна 96 и расстояние от центра окружности до хорды составляет

Данная задача является классической геометрической задачей, связанной с окружностями.

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся свойством перпендикулярности хорды и радиуса окружности.

Обозначим длину диаметра окружности как \(d\) и половину диаметра как \(r\). Также обозначим расстояние от центра окружности до хорды как \(h\).

Первым шагом нам необходимо найти высоту треугольника, образованного хордой и радиусом, опущенным из центра окружности на хорду. Высота этого треугольника будет равна \(h\).

Чтобы найти эту высоту, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, применив ее к прямоугольному треугольнику, образованному половиной хорды, половиной диаметра и радиусом окружности:

\[
h^2 = r^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2
\]

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты \(h\), мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности, чтобы найти длину диаметра.

Из свойства перпендикулярности известно, что продукт длин отрезков, образованных перпендикулярным падением, равен постоянной величине. В данном случае эта величина будет равна произведению длины хорды на расстояние от центра окружности до хорды:

\[
d \cdot h = 96 \cdot 2r
\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, состоящую из уравнения для высоты \(h\) и уравнения для продукта длин:

\[
\begin{cases}
h^2 = r^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 \\
d \cdot h = 96 \cdot 2r
\end{cases}
\]

Решение этой системы уравнений будет давать значения для \(d\) и \(r\), и, таким образом, мы сможем найти длину диаметра окружности.

Одним из возможных способов решения этой системы уравнений является подстановка выражения для \(h\) из первого уравнения во второе уравнение:

\[
d \cdot \sqrt{r^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = 96 \cdot 2r
\]

После этого мы можем квадратировать обе части уравнения, чтобы избавиться от корня:

\[
d^2 \cdot (r^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2) = (96 \cdot 2r)^2
\]

Переносим всё в одну часть уравнения и приводим его к квадратному виду:

\[
\frac{d^4}{4} - r^2 \cdot d^2 + (96 \cdot 2r)^2 = 0
\]

Текст помечен жирным полужирным.