Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его меньшая сторона основания равна 15 м, высота - 20

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Дано, что меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 15 м, высота равна 20 м и диагональ образует угол 60° с меньшей боковой гранью.

Первым шагом найдем длину диагонали, образующей основание параллелепипеда. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (длина диагонали) равен сумме квадратов катетов (длины сторон основания). Обозначим длину диагонали основания как D1, катет (сторону основания) как a. Тогда у нас будет уравнение:

\[D1^2 = 15^2 + a^2\]

Теперь, чтобы найти длину полной диагонали, учитывая угол между диагональю основания и меньшей боковой гранью, мы будем работать с треугольником, у которого известны две стороны (D1 и высота = 20 м) и угол между ними (60°).

Используя закон синусов, мы можем записать:

\[\frac{D1}{\sin(60°)} = \frac{20}{\sin(\alpha)}\]

где \(\alpha\) - угол между полной диагональю и высотой параллелепипеда.

Теперь мы можем найти длину полной диагонали путем решения этого уравнения. Трансформируя уравнение, получаем:

\[D1 = \frac{20 \cdot \sin(60°)}{\sin(\alpha)}\]

Значение угла \(\alpha\) можно найти, зная, что сумма углов треугольника равна 180°. Для треугольника с углом 60° и произвольными двумя углами a и b, мы можем использовать уравнение:

\[a + b + 60° = 180°\]

Так как углы a и b равны и обозначают угол между полной диагональю и высотой параллелепипеда, мы можем записать:

\[2a + 60° = 180°\]

Далее, решая это уравнение, мы находим:

\[2a = 180° - 60°\]
\[2a = 120°\]
\[a = \frac{120°}{2}\]
\[a = 60°\]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[D1 = \frac{20 \cdot \sin(60°)}{\sin(60°)}\]
\[D1 = 20 \cdot 1\]
\[D1 = 20\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна 20 м.