Какова длина диагонали параллелепипеда, если угол между диагональю и меньшей боковой гранью составляет 30 градусов

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово, чтобы понять, как найти длину диагонали параллелепипеда.

1. Задача говорит, что у нас есть параллелепипед, у которого угол между диагональю и меньшей боковой гранью составляет 30 градусов. Давайте назовем этот угол \(\theta\).

2. Важно отметить, что диагональ параллелепипеда и боковая грань образуют прямоугольный треугольник. То есть, диагональ является гипотенузой этого треугольника, а боковая грань - одним из катетов.

3. Мы знаем, что угол \(\theta\) равен 30 градусам. Теперь давайте найдем другие углы этого треугольника.

4. Вспомним свойство прямоугольного треугольника: сумма всех углов равна 180 градусам. Так как у нас уже есть угол 90 градусов (прямой угол), то остается найти третий угол.

5. Поскольку сумма всех углов равна 180 градусам, то \(\theta + 90^\circ + \alpha = 180^\circ\), где \(\alpha\) - третий угол.

6. Решим это уравнение, выразив \(\alpha\):
\(\alpha = 180^\circ - 90^\circ - \theta\)
\(\alpha = 90^\circ - \theta\)

7. Теперь у нас есть два угла треугольника: \(\theta\) и \(\alpha\). Мы можем использовать эти углы для нахождения длины диагонали.

8. Вспомним тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника. Мы можем использовать функцию синуса, так как нам известны гипотенуза и противоположный катет:
\(\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)
В данном случае гипотенуза - это длина диагонали, а противоположный катет - это размер меньшей стороны основания параллелепипеда (равный 5 м).

9. Подставим известные значения в уравнение:
\(\sin(30^\circ) = \frac{5}{{\text{{длина диагонали}}}}\)

10. Найдем значение синуса 30 градусов:
\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

11. Теперь решим уравнение, выразив длину диагонали:
\(\frac{1}{2} = \frac{5}{{\text{{длина диагонали}}}}\)
\(\text{{длина диагонали}} = \frac{5}{\frac{1}{2}}\)
\(\text{{длина диагонали}} = 5 \times 2\)
\(\text{{длина диагонали}} = 10\) м

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет 10 метров.