Какова длина диагоналей параллелограмма, у которого стороны равны 4 см и 9 см, а угол между ними составляет 120°?

Для решения задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB = 4 см, AD = 9 см, и угол между сторонами AB и AD равен 120°. Нам нужно найти длины диагоналей AC и BD.

Давайте начнем с нахождения длины диагонали AC. Для этого мы можем воспользоваться косинусной теоремой для треугольника ABC, где AC — гипотенуза, стороны AB и BC — катеты, а угол C — напротив гипотенузы.

Итак, применяя косинусную теорему, мы получаем:

\[(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Подставляя известные значения, имеем:

\[(AC)^2 = (4)^2 + (9)^2 - 2 \cdot (4) \cdot (9) \cdot \cos(120°)\]

Для нахождения косинуса угла 120°, возьмем косинус отрицательного угла 60°:

\[(AC)^2 = 16 + 81 - 72 \cdot (-0,5)\]

\[(AC)^2 = 16 + 81 + 36\]

\[(AC)^2 = 133\]

Находим корень из полученного значения, чтобы найти длину диагонали AC:

\[AC = \sqrt{133} \approx 11,53\ \text{см}\]

Теперь давайте найдем длину диагонали BD. По свойству параллелограмма диагонали пересекаются на их серединах. Обозначим середину стороны AB как M и середину стороны AD как N. Затем, применив теорему Пифагора к треугольнику MBC и треугольнику MDA, мы можем найти длины отрезков BM и DN.

Полу-периметр параллелограмма ABCD равен:

\[s = \frac{AB + BC + CD + AD}{2} = \frac{4 + 9 + 4 + 9}{2} = 13\]

Длина отрезка BM равна:

\[BM = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-BD)} = \sqrt{13(13-4)(13-9)(13-4)} = \sqrt{13 \cdot 9 \cdot 4} = \sqrt{468} \approx 21,63\ \text{см}\]

Аналогично, длина отрезка DN также равна \(\sqrt{468}\).

Наконец, длины диагоналей AC и BD равны:

\[AC \approx 11,53\ \text{см}\]
\[BD \approx 21,63\ \text{см}\]

Таким образом, длина диагонали AC составляет около 11,53 см, а диагонали BD - около 21,63 см.