Каков синус острого угла между диагоналями четырехугольника abcd с вершинами a (-1; 1), b (3; 3), c(2 ; - 2) и d

Чтобы найти синус острого угла между диагоналями четырехугольника ABCD, нам нужно найти сначала векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \), а затем вычислить синус угла между ними.

Шаг 1: Найдем векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \).
Для этого нам нужно вычислить разницу координат между точками.

Вектор \( \overrightarrow{AC} \) будет равен:
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (2, -2) - (-1, 1) = (2 + 1, -2 - 1) = (3, -3) \]

Вектор \( \overrightarrow{BD} \) будет равен:
\[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = (-2, 0) - (3, 3) = (-2 - 3, 0 - 3) = (-5, -3) \]

Шаг 2: Теперь нам нужно вычислить синус угла между векторами \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \).
Формула для вычисления синуса угла между двумя векторами в трехмерном пространстве:

\[ \sin \theta = \frac{{\left\| \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} \right\|}}{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{BD} \right\|}} \]

где \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} \) - векторное произведение векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \), а \( \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \) и \( \left\| \overrightarrow{BD} \right\| \) - длины соответствующих векторов.

Шаг 3: Найдем длины векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \).
Длина вектора \( \overrightarrow{AC} \) вычисляется с использованием формулы:

\[ \left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2} \]

где \( (x_a, y_a) \) и \( (x_c, y_c) \) - координаты точек A и C соответственно.

Длина вектора \( \overrightarrow{BD} \) вычисляется аналогичным образом.

Длина вектора \( \overrightarrow{AC} \) будет равна:
\[ \left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \]

Длина вектора \( \overrightarrow{BD} \) будет равна:
\[ \left\| \overrightarrow{BD} \right\| = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Шаг 4: Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} \).
Формула для вычисления векторного произведения двух векторов в двумерном пространстве:

\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = (x_1y_2 - x_2y_1) \mathbf{i} + (x_2y_1 - x_1y_2) \mathbf{j} \]

где \( \mathbf{i} \) и \( \mathbf{j} \) - это базисные векторы.

Применяя эту формулу к нашим векторам \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \), получим:
\[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = (3 \cdot (-3) - (-3) \cdot (-5)) \mathbf{i} + ((-3) \cdot (-5) - 3 \cdot (-3)) \mathbf{j} \]
\[ = ( -18 - 15 ) \mathbf{i} + (15 - 9) \mathbf{j} = -33 \mathbf{i} + 6 \mathbf{j} \]

Шаг 5: Подставим найденные значения в формулу синуса угла:
\[ \sin \theta = \frac{{\left\| \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} \right\|}}{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\| \cdot \left\| \overrightarrow{BD} \right\|}} = \frac{{\sqrt{(-33)^2 + 6^2}}}{{\sqrt{18} \cdot 10}} = \frac{{\sqrt{1089 + 36}}}{{\sqrt{18} \cdot 10}} \]
\[ = \frac{{\sqrt{1125}}}{{\sqrt{18} \cdot 10}} = \frac{{\sqrt{125 \cdot 9}}}{{\sqrt{9 \cdot 2} \cdot 10}} = \frac{{3 \sqrt{125}}}{{3 \sqrt{2} \cdot 10}} = \frac{{3 \cdot 5}}{{3 \cdot 10}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, синус острого угла между диагоналями четырехугольника ABCD равен \( \frac{1}{2} \).