Какова длина большой полуоси орбиты, перигей и апогей кометы Галлея с эксцентриситетом 0,967 и периодом обращения

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу, связывающую длину большой полуоси (\(a\)), эксцентриситет (\(e\)) и фокусное расстояние (\(f\)) эллиптической орбиты:

\[f = a \cdot e\]

Мы знаем, что эксцентриситет орбиты кометы Галлея равен 0,967. По определению, он является отношением фокусного расстояния к длине полуоси:

\[e = \frac{f}{a}\]

Мы также знаем, что период обращения (\(T\)) кометы составляет 76 лет. Для эллиптической орбиты, период обращения связан с длиной большой полуоси следующим образом:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G(M+m)}}\]

Где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Солнца, \(m\) - масса кометы.

Данная формула сложна для непосвященного школьника. Поэтому для простоты мы можем использовать следующее приближение:

\[T \approx 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}\]

Для решения задачи потребуется найти длину большой полуоси (\(a\)), фокусное расстояние (\(f\)) и апогей (точка на орбите, наиболее удаленная от Солнца).

Давайте начнем с расчета фокусного расстояния:

\[f = a \cdot e\]

Подставим значения эксцентриситета \(e\) и периода обращения \(T\) для кометы Галлея:

\[f = a \cdot 0,967\]

Теперь мы можем рассчитать длину большой полуоси (\(a\)):

\[T \approx 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[T^2 \approx 4\pi^2 \frac{a^3}{GM}\]

Разделим обе части уравнения на \(4\pi^2\):

\[\frac{T^2}{4\pi^2} \approx \frac{a^3}{GM}\]

Для значения гравитационной постоянной (\(G\)) можно использовать следующее приближение:

\[G \approx 6,67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\]

Для массы Солнца (\(M\)) можно использовать значение:

\[M \approx 1,989 \times 10^{30} \, \text{кг}\]

Теперь мы можем рассчитать длину большой полуоси (\(a\)):

\[\frac{T^2}{4\pi^2} \approx \frac{a^3}{(6,67 \times 10^{-11})(1,989 \times 10^{30})}\]

Возведем обе части уравнения в куб:

\[\left(\frac{T^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx a\]

Подставим значение периода обращения (\(T\)) для кометы Галлея:

\[\left(\frac{76^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx a\]

Подсчитаем это значение:

\[\left(\frac{5776}{39,48}\right)^{\frac{1}{3}} \approx a\]

\[\left(146,415\right)^{\frac{1}{3}} \approx a\]

\[5,697 \approx a\]

Таким образом, длина большой полуоси (\(a\)) орбиты кометы Галлея составляет приблизительно 5,697 астрономических единиц (А.Е.).

Для нахождения апогея (точки на орбите, наиболее удаленной от Солнца), мы можем использовать следующую формулу:

\[r_{\text{апогей}} = a(1+e)\]

Подставим значения длины большой полуоси (\(a\)) и эксцентриситета (\(e\)):

\[r_{\text{апогей}} = 5,697(1+0,967)\]

Вычислим это значение:

\[r_{\text{апогей}} = 5,697 \times 1,967\]

\[r_{\text{апогей}} \approx 11,200\]

Таким образом, апогей кометы Галлея находится приблизительно на расстоянии 11,200 астрономических единиц (А.Е.) от Солнца.