Какова длина боковой стороны вравнобедренного треугольника, если угол при основании равен 75 градусов и его площадь

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать знания о свойствах равнобедренного треугольника и формулу площади треугольника.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. В данной задаче, нам дано, что угол при основании равен 75 градусов, тогда другие два угла равны по $\frac{{180}^{\circ }-{75}^{\circ }}{2}={52.5}^{\circ }$.

Мы также знаем, что площадь треугольника равна 16 квадратным сантиметрам. Формула площади треугольника задается как:

$$S=\frac{1}{2}\cdot \text{{основание}}\cdot \text{{высота}}$$

Так как треугольник равнобедренный, то высота может быть проведена из вершины треугольника перпендикулярно к основанию и делит треугольник на два прямоугольных треугольника с одинаковой высотой.

Теперь, мы можем рассмотреть один из этих половинок треугольника. Возьмем его основанием $b$, а высотой $h$.

Теперь, у нас есть два треугольника, в каждом из которых известно основание и высота. Давайте рассмотрим треугольник с основанием $b$.

Треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника. В одном из них угол между основанием и высотой равен ${75}^{\circ }$, а в другом $90-75={15}^{\circ }$.

Мы можем использовать тригонометрические свойства для нахождения высоты треугольника. Выберем треугольник с углом ${75}^{\circ }$.

Так как у нас есть противолежащий катет $h$ и угол ${75}^{\circ }$, мы можем использовать тангенс угла $\tan ({75}^{\circ })$ для нахождения высоты $h$. Записываем формулу:

$$\tan ({75}^{\circ })=\frac{h}{b}$$

Теперь мы можем решить эту формулу относительно $h$:

$$h=b\cdot \tan ({75}^{\circ })$$

Далее, мы можем использовать формулу для площади треугольника $S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$ и подставить выражение для $h$, чтобы получить выражение для площади в терминах $b$:

$$16=\frac{1}{2}\cdot b\cdot (b\cdot \tan ({75}^{\circ }))$$

Расставим скобки и упростим уравнение:

$$16=\frac{1}{2}\cdot b^2\cdot \tan ({75}^{\circ })$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $b$:

$$b^2=\frac{16}{\frac{1}{2}\cdot \tan ({75}^{\circ })}$$

$$b=\sqrt{\frac{16}{\frac{1}{2}\cdot \tan ({75}^{\circ })}}$$

Используя калькулятор и выполнив указанные вычисления, получаем:

$$b\approx 3.82$$

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет примерно 3.82 сантиметра.