Какова длина боковой стороны вравнобедренного треугольника, если угол при основании равен 75 градусов и его площадь

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать знания о свойствах равнобедренного треугольника и формулу площади треугольника.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. В данной задаче, нам дано, что угол при основании равен 75 градусов, тогда другие два угла равны по \( \frac{{180^\circ - 75^\circ}}{2} = 52.5^\circ \).

Мы также знаем, что площадь треугольника равна 16 квадратным сантиметрам. Формула площади треугольника задается как:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}} \]

Так как треугольник равнобедренный, то высота может быть проведена из вершины треугольника перпендикулярно к основанию и делит треугольник на два прямоугольных треугольника с одинаковой высотой.

Теперь, мы можем рассмотреть один из этих половинок треугольника. Возьмем его основанием \( b \), а высотой \( h \).

Теперь, у нас есть два треугольника, в каждом из которых известно основание и высота. Давайте рассмотрим треугольник с основанием \( b \).

Треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника. В одном из них угол между основанием и высотой равен \( 75^\circ \), а в другом \( 90 - 75 = 15^\circ \).

Мы можем использовать тригонометрические свойства для нахождения высоты треугольника. Выберем треугольник с углом \( 75^\circ \).

Так как у нас есть противолежащий катет \( h \) и угол \( 75^\circ \), мы можем использовать тангенс угла \( \tan(75^\circ) \) для нахождения высоты \( h \). Записываем формулу:

\[ \tan(75^\circ) = \frac{h}{b} \]

Теперь мы можем решить эту формулу относительно \( h \):

\[ h = b \cdot \tan(75^\circ) \]

Далее, мы можем использовать формулу для площади треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \) и подставить выражение для \( h \), чтобы получить выражение для площади в терминах \( b \):

\[ 16 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b \cdot \tan(75^\circ)) \]

Расставим скобки и упростим уравнение:

\[ 16 = \frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \tan(75^\circ) \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( b \):

\[ b^2 = \frac{16}{\frac{1}{2} \cdot \tan(75^\circ)} \]

\[ b = \sqrt{\frac{16}{\frac{1}{2} \cdot \tan(75^\circ)}} \]

Используя калькулятор и выполнив указанные вычисления, получаем:

\[ b \approx 3.82 \]

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет примерно 3.82 сантиметра.