Какова длина боковой стороны равнобедренного треугольника, если его площадь составляет 9 и угол при основании равен

Давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть равнобедренный треугольник, у которого площадь составляет 9 и угол при основании равен 30°. Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства равнобедренных треугольников.

Шаг 1: Найдем высоту треугольника, опущенную из вершины на основание. Обозначим эту высоту как \(h\).

Так как у треугольника угол при основании равен 30°, то у нас есть прямоугольный треугольник, образованный опущенной высотой и половиной основания. Поэтому мы можем применить теорему синусов для нахождения высоты:

\[\sin 30^\circ = \frac{h}{a/2},\]

где \(a\) - длина основания, а \(a/2\) - половина основания.

Сократим на 2:

\[\frac{1}{2} = \frac{h}{a/2}.\]

Умножим обе части на \(a/2\):

\[\frac{a}{4} = h.\]

Шаг 2: Выразим площадь треугольника через основание и найденную высоту.

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через основание \(a\) и высоту \(h\) по формуле:

\[S = \frac{1}{2} a h,\]

где \(S\) - площадь треугольника.

Подставим значение площади и найденную высоту:

\[9 = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a}{4}.\]

Упростим выражение:

\[18 = \frac{a^2}{4}.\]

Умножим обе части на 4:

\[72 = a^2.\]

Шаг 3: Найдем длину боковой стороны треугольника.

Из предыдущего шага мы получили, что \(a^2 = 72\). Чтобы найти \(a\), возьмем квадратный корень из обеих частей:

\[a = \sqrt{72}.\]

Поскольку \(72\) можно разложить на простые множители как \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\), то:

\[a = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}.\]

Итак, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет \(6 \sqrt{2}\) (единицы длины).