Какой объем тела образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг его второго катета? Прямоугольный

Чтобы найти объем тела, образующегося при вращении прямоугольного треугольника вокруг его второго катета, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

1. Начнем с построения прямоугольного треугольника. У нас есть один катет, длина которого равна \(2\sqrt{3}\) см, и угол при этом катете равен 60 градусам.

2. Чтобы найти третий катет треугольника, воспользуемся теоремой Пифагора. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае, квадрат гипотенузы равен \( (2\sqrt{3})^{2} + 2^{2} \), что приводит к \( 12 + 4 = 16 \). Таким образом, длина гипотенузы составляет 4 см.

3. Теперь мы можем начать вращать треугольник вокруг второго катета. При каждом вращении треугольника, образуется тонкий цилиндр с высотой, равной длине второго катета и радиусом, равным расстоянию от предыдущей положительной стороны треугольника до оси вращения.

4. Поскольку второй катет треугольника длиной \(2\sqrt{3}\) см, высота каждого цилиндра также будет \(2\sqrt{3}\) см.

5. Радиусом каждого цилиндра является расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Поскольку вращение происходит вокруг второго катета, мы можем рассмотреть треугольник, образованный этим катетом и гипотенузой. Он является прямоугольным треугольником со сторонами длин 2 см и 4 см.

6. Чтобы найти расстояние от стороны треугольника до оси вращения, мы можем разделить этот треугольник пополам и рассмотреть получившийся прямоугольный треугольник. Его катеты равны 1 см и 2 см.

7. Используя теорему Пифагора, мы можем найти расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Квадрат этого расстояния равен \(1^{2} + 2^{2}\), что приводит к \(1 + 4 = 5\). Таким образом, расстояние от стороны треугольника до оси вращения составляет \(\sqrt{5}\) см.

8. Теперь, когда у нас есть высота и радиус каждого цилиндра, мы можем использовать формулу объема цилиндра: объем = \(\pi \times \text{радиус}^{2} \times \text{высота}\).

9. Подставим значения: объем = \(\pi \times (\sqrt{5})^{2} \times (2\sqrt{3})\).

10. Упростим выражение: объем = \(5\pi \sqrt{3}\) см\(^{3}\).

Таким образом, объем тела, образующегося при вращении прямоугольного треугольника вокруг его второго катета, равен \(5\pi \sqrt{3}\) см\(^{3}\).