Какова циклическая частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, если шарик массой

Для решения данной задачи нам потребуется знание основ колебаний и резонанса.

Дано:
Масса шарика \(m = 0.2\) кг
Изменение длины пружины \(\Delta l = 0.2\) м
Коэффициент затухания \(\gamma = 1\) рад/с

Перейдем к решению задачи.

1. Найдем циклическую частоту \(\omega_0\) свободных колебаний пружинного осциллятора по формуле:
\[\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\]
где \(k\) - коэффициент упругости пружины.

2. Так как задача говорит о вертикально расположенной пружине, то мы можем воспользоваться формулой для вертикального пружинного осциллятора:
\[\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\]
где \(\omega\) - циклическая частота вынуждающей силы.

3. Найдем амплитуду вынужденных колебаний. Для этого воспользуемся формулой:
\[A = \frac{F_0}{m \cdot \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}}\]
где \(F_0\) - амплитуда вынуждающей силы.

Теперь приступим к решению:

1. Найдем коэффициент упругости пружины \(k\) по формуле Гука:
\[k = \frac{mg}{\Delta l}\]
где \(g = 9.8\) м/с² - ускорение свободного падения.

Подставляем значения:
\[k = \frac{0.2 \cdot 9.8}{0.2} = 9.8\) Н/м.

2. Найдем циклическую частоту свободных колебаний пружины:
\[\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.2}} = \sqrt{49} = 7\) рад/с.

3. Найдем циклическую частоту вынуждающей силы:
\[\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = \sqrt{7^2 - 1^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) рад/с.

4. Найдем амплитуду вынужденных колебаний:
\[A = \frac{F_0}{m \cdot \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}}\]
Так как мы ищем значение амплитуды максимальных колебаний, то \(F_0\) можно считать равным \(k \cdot \Delta l\), поскольку в резонансе амплитуда максимальна.
\[A = \frac{k \cdot \Delta l}{m \cdot \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}}\]
Подставляем значения:
\[A = \frac{9.8 \cdot 0.2}{0.2 \cdot \sqrt{(7^2 - (4\sqrt{3})^2)^2 + 1^2 \cdot (4\sqrt{3})^2}} = \frac{1.96}{\sqrt{660}} \approx 0.085\) м.

Таким образом, циклическая частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, равна \(4\sqrt{3}\) рад/с. Амплитуда этих колебаний составляет примерно 0.085 метров.