Какова частота вращения карусели, если пять человек, каждый весом 60 кг, переместятся к центру карусели на половину

Чтобы найти частоту вращения карусели, нам нужно использовать закон сохранения момента импульса. Моментом импульса называется произведение массы тела на его скорость и его радиуса. Формула для момента импульса выглядит так:

\[L = I \cdot \omega\],

где \(L\) - момент импульса, \(I\) - момент инерции (продукт массы на квадрат радиуса, \(I = m \cdot r^2\)), и \(\omega\) - угловая скорость.

Если мы предположим, что карусель вращается без трения, то момент импульса должен сохраняться. Изначально, когда ни один человек не переместился к центру карусели, момент импульса карусели равен моменту импульса людей. После перемещения пяти человек к центру, момент импульса карусели останется неизменным.

Теперь давайте решим задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем момент импульса карусели.
Масса карусели составляет 200 кг, а радиус равен половине диаметра, то есть 2 метра. Тогда момент инерции карусели будет равен:

\[I_{\text{карусели}} = m_{\text{карусели}} \cdot r_{\text{карусели}}^2 = 200 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2 = 800 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\].

Шаг 2: Найдем момент импульса людей.
Если каждый человек весит 60 кг и перемещается на половину радиуса карусели, то их расстояние от оси вращения будет равно 2 метрам (половина радиуса). Общий момент импульса людей будет:

\[L_{\text{люди}} = m_{\text{чел1}} \cdot r_{\text{чел1}}^2 + m_{\text{чел2}} \cdot r_{\text{чел2}}^2 + m_{\text{чел3}} \cdot r_{\text{чел3}}^2 + m_{\text{чел4}} \cdot r_{\text{чел4}}^2 + m_{\text{чел5}} \cdot r_{\text{чел5}}^2 = 60 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2 + 60 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2 + 60 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2 + 60 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2 + 60 \, \text{кг} \cdot (2 \, \text{м})^2 = 2400 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\].

Шаг 3: Найдем угловую скорость карусели.
Так как момент импульса карусели равен моменту импульса людей, то мы можем сравнять два этих значения:

\[L_{\text{карусели}} = L_{\text{люди}}\].

\[I_{\text{карусели}} \cdot \omega_{\text{карусели}} = L_{\text{люди}}\].

Теперь мы можем найти угловую скорость карусели:

\[\omega_{\text{карусели}} = \frac{L_{\text{люди}}}{I_{\text{карусели}}} = \frac{2400 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}{800 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2} = 3 \, \text{рад/с}\].

Таким образом, частота вращения карусели составляет 3 рад/с.