Какова была начальная скорость бочки, если она прокатилась вверх на 12 метров после толчка участника? Угол наклона плоскости к горизонту равен 6 градусам, а коэффициент сопротивления движению бочки составляет 0,05.
Апельсиновый_Шериф
Для решения данной задачи, нам понадобится применить законы движения и принцип сохранения энергии. Давайте пошагово разберемся в решении:
1. Начнем с применения принципа сохранения энергии. В начальный момент времени вся энергия бочки является потенциальной энергией, так как она находится на некоторой высоте относительно земли.
2. Выразим потенциальную энергию бочки в начальный момент времени:
\[E_{п нач} = m \cdot g \cdot h_1\]
где:
- \(E_{п нач}\) - потенциальная энергия в начальный момент времени,
- \(m\) - масса бочки,
- \(g\) - ускорение свободного падения (примем его равным 9,8 м/с\(^2\)),
- \(h_1\) - начальная высота бочки относительно земли.
3. Далее, энергия бочки после прокатки на высоту 12 метров будет состоять из потенциальной энергии и кинетической энергии.
4. Выразим потенциальную энергию бочки после прокатки на высоту 12 метров:
\[E_{п кон} = m \cdot g \cdot h_2\]
где:
- \(E_{п кон}\) - потенциальная энергия после прокатки,
- \(h_2\) - высота бочки после прокатки.
5. Теперь, выразим кинетическую энергию бочки после прокатки:
\[E_{кин} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]
где:
- \(E_{кин}\) - кинетическая энергия после прокатки,
- \(v\) - скорость бочки после прокатки.
6. Для движения бочки на плоскости также действует сила сопротивления движению. Выразим эту силу:
\[F_{сопр} = \mu \cdot m \cdot g\]
где:
- \(F_{сопр}\) - сила сопротивления движению бочки,
- \(\mu\) - коэффициент сопротивления движению бочки,
- \(m\) - масса бочки,
- \(g\) - ускорение свободного падения.
7. Для рассмотренного случая, сила сопротивления движению будет направлена вниз по склону плоскости, и бочка будет двигаться вверх. Таким образом, при расчете силы сопротивления, будем использовать проекцию ускорения свободного падения на плоскость:
\[a = g \cdot \sin(\theta)\]
где:
- \(a\) - ускорение, проекция на плоскость,
- \(\theta\) - угол наклона плоскости к горизонту.
8. Теперь воспользуемся вторым законом Ньютона для поступательного движения:
\[F_{рез} = m \cdot a\]
где:
- \(F_{рез}\) - результирующая сила, равная разности силы тяжести и силы сопротивления движению.
9. Разница между силой тяжести и силой сопротивления движению даст нам результирующую силу, равную массе бочки, умноженной на разность ускорения свободного падения и проекции ускорения на плоскость:
\[m \cdot g - \mu \cdot m \cdot g = m \cdot (g - a)\]
10. Подставим значение ускорения из шага 7 в выражение из шага 9:
\[m \cdot (g - g \cdot \sin(\theta)) = m \cdot g \cdot (1 - \sin(\theta))\]
11. Теперь, зная результирующую силу, можем выразить её через изменение энергии и реализовать принцип сохранения энергии:
\[F_{рез} = \Delta E_{п} = E_{п кон} - E_{п нач}\]
12. Подставим значения потенциальной энергии из шагов 2 и 4 в выражение из шага 11:
\[m \cdot g \cdot (1 - \sin(\theta)) = m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1\]
13. Теперь избавимся от одинаковых слагаемых, разделив обе части уравнения на \(m \cdot g\):
\[1 - \sin(\theta) = h_2 - h_1\]
14. Заметим, что у нас есть информация о разнице высот, а не о значениях отдельных высот. Мы не знаем, высота какой точки выбрана для отсчета. Поэтому мы можем считать \(h_1\) как ноль. В этом случае формула упрощается:
\[1 - \sin(\theta) = h_2\]
15. Теперь можем определить значение высоты \(h_2\) по формуле из шага 14:
\[h_2 = 1 - \sin(\theta)\]
16. Найдем значение угла \(\theta\), используя информацию из условия задачи:
\[\theta = 6^\circ\]
17. Подставим значение угла из шага 16 и вычислим \(h_2\):
\[h_2 = 1 - \sin(6^\circ)\]
18. Теперь у нас есть значение высоты после прокатки. Подставим его в выражение из шага 4 и найдем значения потенциальной энергии \(E_{п кон}\):
\[E_{п кон} = m \cdot g \cdot h_2\]
19. Заметим, что энергия после прокатки равна кинетической энергии перед толчком, так как мы не учитываем потери энергии на силу сопротивления движению. Это позволяет связать кинетическую энергию с потенциальной энергией после прокатки:
\[E_{кин} = E_{п кон}\]
20. Подставим значение \(E_{кин}\) из шага 5 и найдем скорость \(v\):
\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h_2\]
21. Теперь можем выразить скорость \(v\) через \(h_2\) и унифицировать уравнение, разделив обе части на \(m\):
\[\frac{1}{2} \cdot v^2 = g \cdot h_2\]
22. Раскроем скобку на правой стороне и найдем значение \(v^2\):
\[\frac{1}{2} \cdot v^2 = 9.8 \cdot h_2\]
23. Теперь воспользуемся обратной операцией к умножению, чтобы выразить \(v^2\) через \(h_2\):
\[v^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot h_2\]
24. Найдем значение \(v\) путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot h_2}\]
25. Теперь у нас есть значение скорости \(v\) после толчка участника. Чтобы найти начальную скорость \(v_0\), нам нужно учесть силу сопротивления движению. Для этого рассмотрим уравнение движения бочки на плоскости с учетом силы сопротивления:
\[F_{рез} = m \cdot a = m \cdot (g - \mu \cdot g)\]
26. Заметим, что результирующая сила равна произведению массы бочки на ускорение. Можем записать:
\[m \cdot (g - \mu \cdot g) = m \cdot a\]
27. Раскроем скобку на правой стороне и найдем значение \(a\):
\[m \cdot g - m \cdot \mu \cdot g = m \cdot a\]
28. Теперь воспользуемся обратной операцией к умножению, чтобы выразить ускорение \(a\) через \(g\) и \(\mu\):
\[g - g \cdot \mu = a\]
29. Запишем значение \(a\) для движения бочки на плоскости:
\[a = g - g \cdot \mu\]
30. Подставим значения \(g\) и \(\mu\) из условия задачи и найдем ускорение \(a\):
\[a = 9.8 - 9.8 \cdot 0.05\]
31. Теперь у нас есть значение ускорения \(a\) после толчка участника. Чтобы найти начальную скорость \(v_0\), нам нужно знать время, в течение которого бочка двигалась, и учесть, что начальная скорость \(v_0\) равна нулю. Определим время и используем уравнение движения:
\[v = v_0 + a \cdot t\]
32. Подставим значения ускорения из шага 31 и время, которое мы выберем равным 1 секунде:
\[v = 0 + a \cdot 1\]
33. Найдем значение \(v\) путем умножения ускорения на время:
\[v = a \cdot 1\]
34. Теперь у нас есть значение скорости \(v\) после толчка участника. Для нахождения начальной скорости \(v_0\), вычитаем скорость после толчка из общей скорости:
\[v_0 = v - a \cdot t\]
35. Подставим значения \(v\) и \(a\) из шагов 24 и 33, а также время \(t\) равное 1 секунде, и найдем начальную скорость \(v_0\):
\[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot h_2} - a \cdot 1\]
36. Найдем значение \(h_2\) из шага 17 и подставим его в выражение из шага 35:
\[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot (1 - \sin(6^\circ))} - (9.8 - 9.8 \cdot 0.05) \cdot 1\]
37. Теперь можем вычислить начальную скорость \(v_0\) и получить окончательный ответ на задачу.
1. Начнем с применения принципа сохранения энергии. В начальный момент времени вся энергия бочки является потенциальной энергией, так как она находится на некоторой высоте относительно земли.
2. Выразим потенциальную энергию бочки в начальный момент времени:
\[E_{п нач} = m \cdot g \cdot h_1\]
где:
- \(E_{п нач}\) - потенциальная энергия в начальный момент времени,
- \(m\) - масса бочки,
- \(g\) - ускорение свободного падения (примем его равным 9,8 м/с\(^2\)),
- \(h_1\) - начальная высота бочки относительно земли.
3. Далее, энергия бочки после прокатки на высоту 12 метров будет состоять из потенциальной энергии и кинетической энергии.
4. Выразим потенциальную энергию бочки после прокатки на высоту 12 метров:
\[E_{п кон} = m \cdot g \cdot h_2\]
где:
- \(E_{п кон}\) - потенциальная энергия после прокатки,
- \(h_2\) - высота бочки после прокатки.
5. Теперь, выразим кинетическую энергию бочки после прокатки:
\[E_{кин} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]
где:
- \(E_{кин}\) - кинетическая энергия после прокатки,
- \(v\) - скорость бочки после прокатки.
6. Для движения бочки на плоскости также действует сила сопротивления движению. Выразим эту силу:
\[F_{сопр} = \mu \cdot m \cdot g\]
где:
- \(F_{сопр}\) - сила сопротивления движению бочки,
- \(\mu\) - коэффициент сопротивления движению бочки,
- \(m\) - масса бочки,
- \(g\) - ускорение свободного падения.
7. Для рассмотренного случая, сила сопротивления движению будет направлена вниз по склону плоскости, и бочка будет двигаться вверх. Таким образом, при расчете силы сопротивления, будем использовать проекцию ускорения свободного падения на плоскость:
\[a = g \cdot \sin(\theta)\]
где:
- \(a\) - ускорение, проекция на плоскость,
- \(\theta\) - угол наклона плоскости к горизонту.
8. Теперь воспользуемся вторым законом Ньютона для поступательного движения:
\[F_{рез} = m \cdot a\]
где:
- \(F_{рез}\) - результирующая сила, равная разности силы тяжести и силы сопротивления движению.
9. Разница между силой тяжести и силой сопротивления движению даст нам результирующую силу, равную массе бочки, умноженной на разность ускорения свободного падения и проекции ускорения на плоскость:
\[m \cdot g - \mu \cdot m \cdot g = m \cdot (g - a)\]
10. Подставим значение ускорения из шага 7 в выражение из шага 9:
\[m \cdot (g - g \cdot \sin(\theta)) = m \cdot g \cdot (1 - \sin(\theta))\]
11. Теперь, зная результирующую силу, можем выразить её через изменение энергии и реализовать принцип сохранения энергии:
\[F_{рез} = \Delta E_{п} = E_{п кон} - E_{п нач}\]
12. Подставим значения потенциальной энергии из шагов 2 и 4 в выражение из шага 11:
\[m \cdot g \cdot (1 - \sin(\theta)) = m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1\]
13. Теперь избавимся от одинаковых слагаемых, разделив обе части уравнения на \(m \cdot g\):
\[1 - \sin(\theta) = h_2 - h_1\]
14. Заметим, что у нас есть информация о разнице высот, а не о значениях отдельных высот. Мы не знаем, высота какой точки выбрана для отсчета. Поэтому мы можем считать \(h_1\) как ноль. В этом случае формула упрощается:
\[1 - \sin(\theta) = h_2\]
15. Теперь можем определить значение высоты \(h_2\) по формуле из шага 14:
\[h_2 = 1 - \sin(\theta)\]
16. Найдем значение угла \(\theta\), используя информацию из условия задачи:
\[\theta = 6^\circ\]
17. Подставим значение угла из шага 16 и вычислим \(h_2\):
\[h_2 = 1 - \sin(6^\circ)\]
18. Теперь у нас есть значение высоты после прокатки. Подставим его в выражение из шага 4 и найдем значения потенциальной энергии \(E_{п кон}\):
\[E_{п кон} = m \cdot g \cdot h_2\]
19. Заметим, что энергия после прокатки равна кинетической энергии перед толчком, так как мы не учитываем потери энергии на силу сопротивления движению. Это позволяет связать кинетическую энергию с потенциальной энергией после прокатки:
\[E_{кин} = E_{п кон}\]
20. Подставим значение \(E_{кин}\) из шага 5 и найдем скорость \(v\):
\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h_2\]
21. Теперь можем выразить скорость \(v\) через \(h_2\) и унифицировать уравнение, разделив обе части на \(m\):
\[\frac{1}{2} \cdot v^2 = g \cdot h_2\]
22. Раскроем скобку на правой стороне и найдем значение \(v^2\):
\[\frac{1}{2} \cdot v^2 = 9.8 \cdot h_2\]
23. Теперь воспользуемся обратной операцией к умножению, чтобы выразить \(v^2\) через \(h_2\):
\[v^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot h_2\]
24. Найдем значение \(v\) путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot h_2}\]
25. Теперь у нас есть значение скорости \(v\) после толчка участника. Чтобы найти начальную скорость \(v_0\), нам нужно учесть силу сопротивления движению. Для этого рассмотрим уравнение движения бочки на плоскости с учетом силы сопротивления:
\[F_{рез} = m \cdot a = m \cdot (g - \mu \cdot g)\]
26. Заметим, что результирующая сила равна произведению массы бочки на ускорение. Можем записать:
\[m \cdot (g - \mu \cdot g) = m \cdot a\]
27. Раскроем скобку на правой стороне и найдем значение \(a\):
\[m \cdot g - m \cdot \mu \cdot g = m \cdot a\]
28. Теперь воспользуемся обратной операцией к умножению, чтобы выразить ускорение \(a\) через \(g\) и \(\mu\):
\[g - g \cdot \mu = a\]
29. Запишем значение \(a\) для движения бочки на плоскости:
\[a = g - g \cdot \mu\]
30. Подставим значения \(g\) и \(\mu\) из условия задачи и найдем ускорение \(a\):
\[a = 9.8 - 9.8 \cdot 0.05\]
31. Теперь у нас есть значение ускорения \(a\) после толчка участника. Чтобы найти начальную скорость \(v_0\), нам нужно знать время, в течение которого бочка двигалась, и учесть, что начальная скорость \(v_0\) равна нулю. Определим время и используем уравнение движения:
\[v = v_0 + a \cdot t\]
32. Подставим значения ускорения из шага 31 и время, которое мы выберем равным 1 секунде:
\[v = 0 + a \cdot 1\]
33. Найдем значение \(v\) путем умножения ускорения на время:
\[v = a \cdot 1\]
34. Теперь у нас есть значение скорости \(v\) после толчка участника. Для нахождения начальной скорости \(v_0\), вычитаем скорость после толчка из общей скорости:
\[v_0 = v - a \cdot t\]
35. Подставим значения \(v\) и \(a\) из шагов 24 и 33, а также время \(t\) равное 1 секунде, и найдем начальную скорость \(v_0\):
\[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot h_2} - a \cdot 1\]
36. Найдем значение \(h_2\) из шага 17 и подставим его в выражение из шага 35:
\[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot (1 - \sin(6^\circ))} - (9.8 - 9.8 \cdot 0.05) \cdot 1\]
37. Теперь можем вычислить начальную скорость \(v_0\) и получить окончательный ответ на задачу.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
