Какова была начальная скорость бочки, если она прокатилась вверх на 12 метров после толчка участника? Угол наклона

Для решения данной задачи, нам понадобится применить законы движения и принцип сохранения энергии. Давайте пошагово разберемся в решении:

1. Начнем с применения принципа сохранения энергии. В начальный момент времени вся энергия бочки является потенциальной энергией, так как она находится на некоторой высоте относительно земли.

2. Выразим потенциальную энергию бочки в начальный момент времени:
$$E_{пнач}=m\cdot g\cdot h_1$$
где:
- $E_{пнач}$ - потенциальная энергия в начальный момент времени,
- $m$ - масса бочки,
- $g$ - ускорение свободного падения (примем его равным 9,8 м/с${}^2$),
- $h_1$ - начальная высота бочки относительно земли.

3. Далее, энергия бочки после прокатки на высоту 12 метров будет состоять из потенциальной энергии и кинетической энергии.

4. Выразим потенциальную энергию бочки после прокатки на высоту 12 метров:
$$E_{пкон}=m\cdot g\cdot h_2$$
где:
- $E_{пкон}$ - потенциальная энергия после прокатки,
- $h_2$ - высота бочки после прокатки.

5. Теперь, выразим кинетическую энергию бочки после прокатки:
$$E_{кин}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$$
где:
- $E_{кин}$ - кинетическая энергия после прокатки,
- $v$ - скорость бочки после прокатки.

6. Для движения бочки на плоскости также действует сила сопротивления движению. Выразим эту силу:
$$F_{сопр}=\mu \cdot m\cdot g$$
где:
- $F_{сопр}$ - сила сопротивления движению бочки,
- $\mu$ - коэффициент сопротивления движению бочки,
- $m$ - масса бочки,
- $g$ - ускорение свободного падения.

7. Для рассмотренного случая, сила сопротивления движению будет направлена вниз по склону плоскости, и бочка будет двигаться вверх. Таким образом, при расчете силы сопротивления, будем использовать проекцию ускорения свободного падения на плоскость:
$$a=g\cdot \sin (\theta )$$
где:
- $a$ - ускорение, проекция на плоскость,
- $\theta$ - угол наклона плоскости к горизонту.

8. Теперь воспользуемся вторым законом Ньютона для поступательного движения:
$$F_{рез}=m\cdot a$$
где:
- $F_{рез}$ - результирующая сила, равная разности силы тяжести и силы сопротивления движению.

9. Разница между силой тяжести и силой сопротивления движению даст нам результирующую силу, равную массе бочки, умноженной на разность ускорения свободного падения и проекции ускорения на плоскость:
$$m\cdot g-\mu \cdot m\cdot g=m\cdot (g-a)$$

10. Подставим значение ускорения из шага 7 в выражение из шага 9:
$$m\cdot (g-g\cdot \sin (\theta ))=m\cdot g\cdot (1-\sin (\theta ))$$

11. Теперь, зная результирующую силу, можем выразить её через изменение энергии и реализовать принцип сохранения энергии:
$$F_{рез}=\mathrm{\Delta }{E}_{п}=E_{пкон}-E_{пнач}$$

12. Подставим значения потенциальной энергии из шагов 2 и 4 в выражение из шага 11:
$$m\cdot g\cdot (1-\sin (\theta ))=m\cdot g\cdot h_2-m\cdot g\cdot h_1$$

13. Теперь избавимся от одинаковых слагаемых, разделив обе части уравнения на $m\cdot g$:
$$1-\sin (\theta )=h_2-h_1$$

14. Заметим, что у нас есть информация о разнице высот, а не о значениях отдельных высот. Мы не знаем, высота какой точки выбрана для отсчета. Поэтому мы можем считать $h_1$ как ноль. В этом случае формула упрощается:
$$1-\sin (\theta )=h_2$$

15. Теперь можем определить значение высоты $h_2$ по формуле из шага 14:
$$h_2=1-\sin (\theta )$$

16. Найдем значение угла $\theta$, используя информацию из условия задачи:
$$\theta =6^{\circ }$$

17. Подставим значение угла из шага 16 и вычислим $h_2$:
$$h_2=1-\sin (6^{\circ })$$

18. Теперь у нас есть значение высоты после прокатки. Подставим его в выражение из шага 4 и найдем значения потенциальной энергии $E_{пкон}$:
$$E_{пкон}=m\cdot g\cdot h_2$$

19. Заметим, что энергия после прокатки равна кинетической энергии перед толчком, так как мы не учитываем потери энергии на силу сопротивления движению. Это позволяет связать кинетическую энергию с потенциальной энергией после прокатки:
$$E_{кин}=E_{пкон}$$

20. Подставим значение $E_{кин}$ из шага 5 и найдем скорость $v$:
$$\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=m\cdot g\cdot h_2$$

21. Теперь можем выразить скорость $v$ через $h_2$ и унифицировать уравнение, разделив обе части на $m$:
$$\frac{1}{2}\cdot v^2=g\cdot h_2$$

22. Раскроем скобку на правой стороне и найдем значение $v^2$:
$$\frac{1}{2}\cdot v^2=9.8\cdot h_2$$

23. Теперь воспользуемся обратной операцией к умножению, чтобы выразить $v^2$ через $h_2$:
$$v^2=2\cdot 9.8\cdot h_2$$

24. Найдем значение $v$ путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения:
$$v=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot h_2}$$

25. Теперь у нас есть значение скорости $v$ после толчка участника. Чтобы найти начальную скорость $v_0$, нам нужно учесть силу сопротивления движению. Для этого рассмотрим уравнение движения бочки на плоскости с учетом силы сопротивления:
$$F_{рез}=m\cdot a=m\cdot (g-\mu \cdot g)$$

26. Заметим, что результирующая сила равна произведению массы бочки на ускорение. Можем записать:
$$m\cdot (g-\mu \cdot g)=m\cdot a$$

27. Раскроем скобку на правой стороне и найдем значение $a$:
$$m\cdot g-m\cdot \mu \cdot g=m\cdot a$$

28. Теперь воспользуемся обратной операцией к умножению, чтобы выразить ускорение $a$ через $g$ и $\mu$:
$$g-g\cdot \mu =a$$

29. Запишем значение $a$ для движения бочки на плоскости:
$$a=g-g\cdot \mu$$

30. Подставим значения $g$ и $\mu$ из условия задачи и найдем ускорение $a$:
$$a=9.8-9.8\cdot 0.05$$

31. Теперь у нас есть значение ускорения $a$ после толчка участника. Чтобы найти начальную скорость $v_0$, нам нужно знать время, в течение которого бочка двигалась, и учесть, что начальная скорость $v_0$ равна нулю. Определим время и используем уравнение движения:
$$v=v_0+a\cdot t$$

32. Подставим значения ускорения из шага 31 и время, которое мы выберем равным 1 секунде:
$$v=0+a\cdot 1$$

33. Найдем значение $v$ путем умножения ускорения на время:
$$v=a\cdot 1$$

34. Теперь у нас есть значение скорости $v$ после толчка участника. Для нахождения начальной скорости $v_0$, вычитаем скорость после толчка из общей скорости:
$$v_0=v-a\cdot t$$

35. Подставим значения $v$ и $a$ из шагов 24 и 33, а также время $t$ равное 1 секунде, и найдем начальную скорость $v_0$:
$$v_0=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot h_2}-a\cdot 1$$

36. Найдем значение $h_2$ из шага 17 и подставим его в выражение из шага 35:
$$v_0=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot (1-\sin (6^{\circ }))}-(9.8-9.8\cdot 0.05)\cdot 1$$

37. Теперь можем вычислить начальную скорость $v_0$ и получить окончательный ответ на задачу.