Какова будет скорость и направление полета более крупной части снаряда, если он взорвался на две части в верхней точке

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся законами сохранения импульса и момента импульса.

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до и после взрыва должна оставаться неизменной. В начальный момент снаряд является одним целым, и его импульс равен \(mv\). После взрыва снаряд распадается на две части, и их импульсы должны быть равны сумме импульса снаряда. Пусть импульс меньшей части равен \(mu_1\) и импульс более крупной части равен \(mu_2\).
Импульс меньшей части \(mu_1\) раскладывается на горизонтальную и вертикальную составляющие следующим образом:
\[
mu_{1x} = mu_1 \cos(\alpha) \quad \text{и} \quad mu_{1y} = mu_1 \sin(\alpha)
\]

Итак, импульсы меньшей и более крупной частей должны удовлетворять условию:
\[
mv = mu_1 + mu_2
\]

Теперь, чтобы определить скорость и направление движения более крупной части, мы должны использовать закон сохранения момента импульса относительно начальной точки, выбранной на поверхности Земли. Поскольку нет внешних горизонтальных сил, момент импульса до и после взрыва должен оставаться постоянным.

Момент импульса меньшей части в начальный момент равен \(mu_1d_1\), где \(d_1\) - расстояние от начальной точки до меньшей части снаряда. После взрыва меньшая часть движется горизонтально и, следовательно, ее момент импульса равен \(mu_{1x}d_1\).

Момент импульса более крупной части относительно начальной точки (до взрыва) равен \(mu_2d_2\), где \(d_2\) - расстояние от начальной точки до более крупной части снаряда. После взрыва более крупная часть движется под углом к поверхности, и ее момент импульса не равен нулю. Он состоит из двух составляющих: горизонтальной и вертикальной. Горизонтальная составляющая равна \(mu_{2x}d_2\), а вертикальная составляющая равна \(mu_{2y}d_2\).

Таким образом, условие сохранения момента импульса может быть записано следующим образом:
\[mu_1d_1 = mu_{1x}d_1 = mu_{2x}d_2\]
\[0 = mu_{1y}d_1 + mu_{2y}d_2\]

Мы можем решить эти два уравнения относительно \(d_1\) и \(d_2\). Поскольку \(d_1\) и \(d_2\) являются расстояниями, они не могут быть отрицательными. Поэтому выбираем значение \(d_1 > 0\) (в направлении положительной оси x) и \(d_2 > 0\) (в направлении положительной оси x).

Рассмотрим первое уравнение:
\[mu_{1x}d_1 = mu_{2x}d_2\]
\[mu_1 \cos(\alpha) d_1 = mu_2 \cos(\theta) d_2\]
\[mu_1 \cos(\alpha) = mu_2 \cos(\theta) \quad \text{(1)}\]

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\[mu_{1y}d_1 + mu_{2y}d_2 = 0\]
\[mu_1 \sin(\alpha) d_1 + mu_2 \sin(\theta) d_2 = 0\]
\[mu_1 \sin(\alpha) = -mu_2 \sin(\theta) \quad \text{(2)}\]

Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2) относительно \(mu_2\) и \(\theta\).
Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
\[
\tan(\theta) = -\frac{mu_1 \sin(\alpha)}{mu_1 \cos(\alpha)} = -\tan(\alpha)
\]
\[
\theta = -\alpha
\]

Таким образом, угол \(\theta\) равен \(-\alpha\). Это означает, что более крупная часть будет двигаться в противоположном направлении относительно исходного направления движения снаряда, т.е. в противоположное движение по горизонту и под углом \(-\alpha\) к поверхности.

Теперь мы можем найти \(mu_2\) с помощью уравнения (1):
\[
mu_1 \cos(\alpha) = mu_2 \cos(-\alpha)
\]
\[
mu_1 \cos(\alpha) = mu_2 \cos(\alpha)
\]
\[
mu_2 = mu_1
\]

Таким образом, скорость более крупной части будет равна скорости меньшей части снаряда \(u_1 = 500 \, \text{м/с}\), а ее направление будет движение в противоположном направлении относительно исходного направления движения снаряда, под углом \(-\alpha = -60^\circ\) к поверхности Земли.

Итак, скорость более крупной части снаряда будет равна \(u_2 = u_1 = 500 \, \text{м/с}\) и она будет двигаться под углом \(-\alpha = -60^\circ\) к поверхности Земли.