Какова будет скорость двух тел после абсолютно неупругого удара, если их массы составляют 8 кг и 1 кг, а координаты

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится применить законы сохранения импульса и энергии для системы.

1. Закон сохранения энергии:
Перед ударом и после удара, полная механическая энергия системы остается постоянной. Так как данный удар является абсолютно неупругим, механическая энергия потеряется.

Мы можем выразить начальную и конечную механическую энергию системы:

Начальная механическая энергия системы (до удара):
\[E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m_1 v_{1\text{нач}}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{нач}}^2\]

Конечная механическая энергия системы (после удара):
\[E_{\text{кон}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{\text{кон}}^2\]

Так как механическая энергия потеряется, мы можем приравнять начальную и конечную механическую энергию системы:
\[E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}}\]

\[\frac{1}{2} m_1 v_{1\text{нач}}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{нач}}^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{\text{кон}}^2\]

2. Закон сохранения импульса:
Перед ударом и после удара, полный импульс системы остается постоянным.

Импульс системы до удара:
\[p_{\text{нач}} = m_1 v_{1\text{нач}} + m_2 v_{2\text{нач}}\]

Импульс системы после удара:
\[p_{\text{кон}} = (m_1 + m_2) v_{\text{кон}}\]

Так как полный импульс системы остается постоянным, мы можем приравнять начальный и конечный импульсы:
\[p_{\text{нач}} = p_{\text{кон}}\]

\[m_1 v_{1\text{нач}} + m_2 v_{2\text{нач}} = (m_1 + m_2) v_{\text{кон}}\]

Теперь мы можем решить систему уравнений, используя данные задачи:

\(m_1 = 8 \, \text{кг}\) - масса первого тела
\(m_2 = 1 \, \text{кг}\) - масса второго тела
\(v_{1\text{нач}}\) - начальная скорость первого тела
\(v_{2\text{нач}}\) - начальная скорость второго тела
\(v_{\text{кон}}\) - конечная скорость обоих тел после удара

Координаты меняются по закону:
\(X_1 = 7 + 2t \, \text{м}\)
\(X_2 = -8 + 20t \, \text{м}\)

Для определения начальных скоростей, мы можем продифференцировать координаты в начальный момент времени (\(t = 0\)):
\(v_{1\text{нач}} = \frac{dX_1}{dt}\) (начальная скорость первого тела)
\(v_{2\text{нач}} = \frac{dX_2}{dt}\) (начальная скорость второго тела)

Продифференцируем данные выражения:

\(\frac{dX_1}{dt} = \frac{d(7 + 2t)}{dt} = 2\) (м/с)
\(\frac{dX_2}{dt} = \frac{d(-8 + 20t)}{dt} = 20\) (м/с)

Теперь мы можем подставить начальные скорости и массы тел в уравнения сохранения энергии и импульса:

\[\frac{1}{2} m_1 v_{1\text{нач}}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2\text{нач}}^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{\text{кон}}^2\]
\[(m_1)(v_{1\text{нач}}) + (m_2)(v_{2\text{нач}}) = (m_1 + m_2) v_{\text{кон}}\]

Подставляем значения:
\[\frac{1}{2}(8)(2)^2 + \frac{1}{2}(1)(20)^2 = \frac{1}{2}(8 + 1) v_{\text{кон}}^2\]
\[(8)(2) + (1)(20) = (8 + 1) v_{\text{кон}}\]

Вычисляем значения:
\[\frac{1}{2}(8)(4) + \frac{1}{2}(1)(400) = \frac{1}{2}(9) v_{\text{кон}}^2\]
\[16 + 200 = 9 v_{\text{кон}}\]

\[\frac{1}{2}(9) v_{\text{кон}}^2 = 216\]
\[9 v_{\text{кон}} = 216\]

Решаем уравнение:
\[v_{\text{кон}} = \frac{216}{9} = 24\]

Таким образом, скорость двух тел после абсолютно неупругого удара будет равна \(24\) м/с.