Какова амплитуда колебаний материальной точки, которая совершает гармонические колебания с частотой 2

Для решения данной задачи мы можем использовать основные уравнения гармонических колебаний:

\[x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi)\]
\[v(t) = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

Где:
\(x(t)\) - координата точки в момент времени \(t\),
\(A\) - амплитуда колебаний,
\(\omega\) - радианная частота колебаний \((2\pi f)\),
\(f\) - частота колебаний,
\(\phi\) - начальная фаза колебаний,
\(v(t)\) - скорость точки в момент времени \(t\).

Исходя из условия задачи, у нас есть следующие данные:
\(f = 2 \, \text{Гц}\),
\(x_0 = 6 \, \text{см}\),
\(v_0 = 14 \, \text{см/с}\).

Для начала, найдем радианную частоту колебаний \(\omega\), выразив ее через частоту \(f\):
\(\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \, \text{рад/с}\).

Также нам необходимо найти начальную фазу \(\phi\). Для этого воспользуемся известными начальными условиями: \(x(t=0) = x_0\) и \(v(t=0) = v_0\).

Подставим \(t = 0\) в уравнение для координаты \(x(t)\):
\(x(0) = A \cdot \sin(\omega \cdot 0 + \phi) = A \cdot \sin(\phi) = x_0\).

Отсюда можно сделать вывод, что \(\sin(\phi) = \frac{x_0}{A}\). Найти фазу \(\phi\) напрямую нельзя, но мы можем рассмотреть два случая:

1. Если \(\frac{x_0}{A} = 1\) (т.е. амплитуда равна начальной координате), то угол \(\phi = \frac{\pi}{2}\).

2. Если \(\frac{x_0}{A} < 1\) (т.е. амплитуда больше начальной координаты), то \(\phi = \arcsin\left(\frac{x_0}{A}\right)\).

Также нам дано, что скорость в момент времени \(t = 0\) равна \(v_0\):
\(v(0) = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot 0 + \phi) = A \cdot \omega \cdot \cos(\phi) = v_0\).

Стало быть, \(\cos(\phi) = \frac{v_0}{A \cdot \omega}\).

Исходя из второго уравнения, мы можем найти амплитуду \(A\):
\(A = \frac{v_0}{\omega \cdot \cos(\phi)}\).

Теперь, имея все необходимые формулы и данные, мы можем рассчитать амплитуду колебаний.

Давайте приступим к решению.