Какова амплитуда и период колебаний груза, а также его максимальная скорость, если груз массой 218 г находится на пружине жесткостью 15 Н/м, и полная энергия колебаний составляет 477 Дж? При расчетах используйте g = 9,8 м/с² и π = 3,14. (Округлите ответы до сотых.) Ответ: амплитуда колебаний: м; период колебаний: с; максимальная скорость груза: м/с.
Zvezdnyy_Lis
Для решения данной задачи, нам необходимо применить законы гармонических колебаний.
Сначала найдем амплитуду колебаний. Амплитуда обозначается символом \(A\) и представляет собой максимальное смещение от положения равновесия. Формула для определения амплитуды выглядит следующим образом:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2}kA^2,\]
где \(E_{\text{к}}\) - полная энергия колебаний, \(k\) - жесткость пружины, \(A\) - амплитуда колебаний.
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[477 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot A^2.\]
Далее решим полученное уравнение относительно \(A\):
\[\frac{477}{7.5} = A^2.\]
Вычисляя, получаем:
\[A^2 = 63.6.\]
Извлекая корень из обеих сторон уравнения, получаем:
\[A \approx 7.98 \, \text{см}.\]
Таким образом, амплитуда колебаний груза составляет приблизительно 7.98 см.
Теперь найдем период колебаний. Период обозначается символом \(T\) и представляет собой время, за которое груз выполняет одно полное колебание. Формула для определения периода выглядит следующим образом:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\]
где \(m\) - масса груза, \(k\) - жесткость пружины, \(\pi\) - число "Пи".
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.218}{15}}.\]
Вычисляя, получаем:
\[T \approx 0.586 \, \text{с}.\]
Таким образом, период колебаний груза составляет приблизительно 0.586 с.
Наконец, найдем максимальную скорость груза. Максимальная скорость обозначается символом \(v_{\text{макс}}\) и достигается в точке амплитуды. Формула для определения максимальной скорости выглядит следующим образом:
\[v_{\text{макс}} = A \cdot \omega,\]
где \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая скорость колебаний.
Угловая скорость \(\omega\) можно выразить через период \(T\) следующим образом:
\[\omega = \frac{2\pi}{T}.\]
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[\omega = \frac{2 \cdot 3.14}{0.586}.\]
Вычисляя, получаем:
\[\omega \approx 10.705 \, \text{рад/с}.\]
Теперь, подставляя значения амплитуды \(A\) и угловой скорости \(\omega\) в формулу для максимальной скорости, получаем:
\[v_{\text{макс}} = 7.98 \cdot 10.705.\]
Вычисляя, получаем:
\[v_{\text{макс}} \approx 85.354 \, \text{см/с}.\]
Таким образом, максимальная скорость груза составляет приблизительно 85.354 см/с.
Итак, в ответе имеем:
Амплитуда колебаний: 7.98 см;
Период колебаний: 0.586 с;
Максимальная скорость груза: 85.354 см/с.
Сначала найдем амплитуду колебаний. Амплитуда обозначается символом \(A\) и представляет собой максимальное смещение от положения равновесия. Формула для определения амплитуды выглядит следующим образом:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2}kA^2,\]
где \(E_{\text{к}}\) - полная энергия колебаний, \(k\) - жесткость пружины, \(A\) - амплитуда колебаний.
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[477 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot A^2.\]
Далее решим полученное уравнение относительно \(A\):
\[\frac{477}{7.5} = A^2.\]
Вычисляя, получаем:
\[A^2 = 63.6.\]
Извлекая корень из обеих сторон уравнения, получаем:
\[A \approx 7.98 \, \text{см}.\]
Таким образом, амплитуда колебаний груза составляет приблизительно 7.98 см.
Теперь найдем период колебаний. Период обозначается символом \(T\) и представляет собой время, за которое груз выполняет одно полное колебание. Формула для определения периода выглядит следующим образом:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\]
где \(m\) - масса груза, \(k\) - жесткость пружины, \(\pi\) - число "Пи".
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.218}{15}}.\]
Вычисляя, получаем:
\[T \approx 0.586 \, \text{с}.\]
Таким образом, период колебаний груза составляет приблизительно 0.586 с.
Наконец, найдем максимальную скорость груза. Максимальная скорость обозначается символом \(v_{\text{макс}}\) и достигается в точке амплитуды. Формула для определения максимальной скорости выглядит следующим образом:
\[v_{\text{макс}} = A \cdot \omega,\]
где \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая скорость колебаний.
Угловая скорость \(\omega\) можно выразить через период \(T\) следующим образом:
\[\omega = \frac{2\pi}{T}.\]
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[\omega = \frac{2 \cdot 3.14}{0.586}.\]
Вычисляя, получаем:
\[\omega \approx 10.705 \, \text{рад/с}.\]
Теперь, подставляя значения амплитуды \(A\) и угловой скорости \(\omega\) в формулу для максимальной скорости, получаем:
\[v_{\text{макс}} = 7.98 \cdot 10.705.\]
Вычисляя, получаем:
\[v_{\text{макс}} \approx 85.354 \, \text{см/с}.\]
Таким образом, максимальная скорость груза составляет приблизительно 85.354 см/с.
Итак, в ответе имеем:
Амплитуда колебаний: 7.98 см;
Период колебаний: 0.586 с;
Максимальная скорость груза: 85.354 см/с.
Знаешь ответ?