Какой угол поворота шара произойдет за время 4 секунды, если радиус шара равен r = 50 см и он вращается в соответствии

Для решения этой задачи нам понадобится выразить угол поворота шара от времени. Мы знаем, что скорость углового поворота \(\omega(t)\) обозначается в радианах в секунду.

В данной задаче задано уравнение \(\omega(t) = -5t + \ln(t)\), где \(t\) - время в секундах.

Чтобы найти угол поворота \(S\) за время \(t\), мы можем интегрировать выражение \(\omega(t)\) по времени. Для этого перепишем уравнение скорости углового поворота \(\omega(t)\) как \(\frac{dS}{dt}\), где \(S\) - искомый угол поворота:

\[\frac{dS}{dt} = -5t + \ln(t)\]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по времени от 0 до \(t_1\), чтобы найти угол поворота за интервал времени от 0 до \(t_1\):

\[\int_{0}^{S} dS = \int_{0}^{t_1} -5t + \ln(t) dt\]

Вычисляем интеграл:

\[S\bigg|_{0}^{S} = -\frac{5}{2}t^2 + t\ln(t) - \int_{0}^{t_1} t dt + \int_{0}^{t_1} \ln(t) dt\]

Упрощаем:

\[S = -\frac{5}{2}t^2 + t\ln(t) - \frac{t_1^2}{2} + t_1\ln(t_1) - \int_{0}^{t_1} t dt + \int_{0}^{t_1} \ln(t) dt\]

Вычисляем определенные интегралы:

\[S = -\frac{5}{2}t^2 + t\ln(t) - \frac{t_1^2}{2} + t_1\ln(t_1) - \frac{t_1^2}{2} + t_1\ln(t_1)\]

Теперь мы можем использовать известные значения: \(r = 50\) см и \(t = 4\) секунды.

\[S = -\frac{5}{2}(4^2) + 4\ln(4) - \frac{4^2}{2} + 4\ln(4)\]

\[
S = -20 + 4\ln(4) - 8 + 4\ln(4) = -28 + 8\ln(4) = -28 + 8\cdot 2 = -28 + 16 = 12 \text{ радиан}
\]

Округлим результат до ближайшего числа. Получаем, что угол поворота шара за 4 секунды равен 12 радиан.

Таким образом, правильный ответ на задачу - 12 радиан (не входит ни в один из предложенных вариантов ответа).