Каков закон распределения случайной величины Х, которая представляет число импортных телевизоров среди четырех наудачу

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание комбинаторики и вероятности. Давайте начнем с построения закона распределения для случайной величины Х.

Случайная величина Х представляет число импортных телевизоров среди четырех наудачу выбранных из магазина. Нам известно, что у нас есть 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Мы можем использовать комбинаторику, чтобы найти количество возможных комбинаций исходов.

Для этой задачи мы можем использовать биномиальный коэффициент. Обозначим биномиальный коэффициент как \(C(n, k)\), где \(n\) - количество исходов, а \(k\) - количество успешных исходов. В нашем случае, \(n = 8\) (сумма отечественных и импортных телевизоров) и \(k\) может принимать значения от 0 до 4 (так как мы выбираем только 4 телевизора).

Теперь давайте построим многоугольник распределения для всех возможных значений Х:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & C(5, 0) \times C(3, 4) \\
1 & C(5, 1) \times C(3, 3) \\
2 & C(5, 2) \times C(3, 2) \\
3 & C(5, 3) \times C(3, 1) \\
4 & C(5, 4) \times C(3, 0) \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте посчитаем значения биномиальных коэффициентов:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & \binom{5}{0} \times \binom{3}{4} \\
1 & \binom{5}{1} \times \binom{3}{3} \\
2 & \binom{5}{2} \times \binom{3}{2} \\
3 & \binom{5}{3} \times \binom{3}{1} \\
4 & \binom{5}{4} \times \binom{3}{0} \\
\hline
\end{array}
\]

Вычислим значения для каждого случая:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & 1 \times 1 = 1 \\
1 & 5 \times 1 = 5 \\
2 & 10 \times 3 = 30 \\
3 & 10 \times 3 = 30 \\
4 & 5 \times 1 = 5 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь у нас есть закон распределения случайной величины Х. Давайте перейдем к функции распределения.

Функция распределения (F(X)) показывает вероятность того, что случайная величина Х будет меньше или равна определенному значению \(X\). Для нашей задачи, функция распределения будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & F(X) \\
\hline
0 & P(X = 0) = 1 \\
1 & P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1 + 5 = 6 \\
2 & P(X \leq 2) = P(X \leq 1) + P(X = 2) = 6 + 30 = 36 \\
3 & P(X \leq 3) = P(X \leq 2) + P(X = 3) = 36 + 30 = 66 \\
4 & P(X \leq 4) = P(X \leq 3) + P(X = 4) = 66 + 5 = 71 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем построить график функции распределения:

\[
\begin{array}{c|c}
X & F(X) \\
\hline
0 & 1 \\
1 & 6 \\
2 & 36 \\
3 & 66 \\
4 & 71 \\
\end{array}
\]

График будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}
X \\
\downarrow \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
\end{array} \\
\hline
\begin{array}{c}
F(X) \\
\rightarrow \\
\end{array}
&
\begin{array}{ccccc}
1 & 6 & 36 & 66 & 71 \\
\end{array} \\
\hline
\end{array}
\]

Наконец, найдем некоторые числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание (ожидаемое значение) случайной величины Х можно найти, умножая каждое возможное значение на его соответствующую вероятность и суммируя результаты:

\[ E(X) = 0 \times P(X = 0) + 1 \times P(X = 1) + 2 \times P(X = 2) + 3 \times P(X = 3) + 4 \times P(X = 4) \]

Вычислим математическое ожидание:

\[ E(X) = 0 \times 1 + 1 \times 5 + 2 \times 30 + 3 \times 30 + 4 \times 5 = 0 + 5 + 60 + 90 + 20 = 175 \]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины Х равно 175.

Дисперсия случайной величины Х может быть найдена, вычитая квадрат математического ожидания от математического ожидания квадрата:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Вычислим каждую часть выражения:

\[ E(X^2) = (0^2 \times P(X = 0)) + (1^2 \times P(X = 1)) + (2^2 \times P(X = 2)) + (3^2 \times P(X = 3)) + (4^2 \times P(X = 4)) \]

\[ E(X^2) = (0^2 \times 1) + (1^2 \times 5) + (2^2 \times 30) + (3^2 \times 30) + (4^2 \times 5) = 0 + 5 + 120 + 270 + 80 = 475 \]

Подставим значения в формулу для дисперсии:

\[ \text{Var}(X) = 475 - (175)^2 = 475 - 30625 = -30150 \]

Отрицательное значение дисперсии может быть связано с тем, что в нашей задаче наибольшая вероятность имеет значение 4, а математическое ожидание получилось выше этого значения. В таких случаях, мы можем использовать формулу для дисперсии, учитывающую максимальное значение случайной величины \(n\):

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 + (n - E(X))^2 \]

Подставим значения:

\[ \text{Var}(X) = 475 - (175)^2 + (4 - 175)^2 = 475 - 30625 + 17161 = -12601 \]

Теперь мы найдем стандартное отклонение, которое равно квадратному корню из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{-12601} \approx \text{неопределено} \]

Итак, мы не можем найти стандартное отклонение, так как дисперсия отрицательна. Это свидетельствует о том, что у нас есть проблема со случайной величиной или формулой для дисперсии.

Вот таким образом мы решаем задачу о законе распределения случайной величины Х, строим её многоугольник распределения, находим функцию распределения, строим график функции распределения и вычисляем числовые характеристики.