Каков угол при вершине осевого сечения конуса, в котором радиус основания составляет половину радиуса сферы?

Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

У нас имеется конус со сферическим осевым сечением. Радиус основания конуса, обозначим его как \(R_1\), равен половине радиуса сферы. Обозначим радиус сферы как \(R_2\).

Для начала, необходимо выразить соотношение между \(R_1\) и \(R_2\). Условие задачи говорит, что \(R_1\) равен половине \(R_2\). То есть, можно записать:

\[R_1 = \frac{1}{2} R_2\]

Теперь обратимся к определению угла при вершине осевого сечения конуса. Этот угол образуется между линией, соединяющей вершину конуса с центром сферы, и плоскостью, лежащей вдоль осевой линии конуса. Обозначим этот угол как \(\theta\).

Теперь постараемся найти связь между \(\theta\) и \(R_1\). Для этого рассмотрим треугольник, образованный вертикальной линией, идущей от вершины конуса к центру сферы, половиной основания конуса и радиусом сферы. Из этого треугольника можно сказать, что тангенс угла \(\theta\) равен отношению \(R_1\) к сумме \(R_1\) и \(R_2\). Выразим это математически:

\[\tan(\theta) = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\]

Подставим в это равенство значение \(R_1\), выраженное через \(R_2\):

\[\tan(\theta) = \frac{\frac{1}{2} R_2}{\frac{3}{2} R_2} = \frac{1}{3}\]

Теперь, чтобы найти значение угла \(\theta\), применим обратную функцию тангенсу (арктангенс) к обоим частям уравнения:

\[\theta = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \approx 18.43^\circ\]

Таким образом, угол при вершине осевого сечения конуса, в котором радиус основания составляет половину радиуса сферы, равен примерно \(18.43^\circ\).